单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a$ ，且 $a \neq 0$ ，则当 $n$ 充分大时有
$\text{A.}$ $\left|a_n\right|>\frac{|a|}{2}$
$\text{B.}$ $\left|a_n\right| < \frac{|a|}{2}$
$\text{C.}$ $a_n>a-\frac{1}{n}$
$\text{D.}$ $a_n < a+\frac{1}{n}$
下列曲线中有渐近线的是
$\text{A.}$ $y=x+\sin x$
$\text{B.}$ $y=x^2+\sin x$
$\text{C.}$ $y=x+\sin \frac{1}{x}$
$\text{D.}$ $y=x^2+\sin \frac{1}{x}$
设 $p(x)=a+b x+c x^2+d x^3$ ， 当 $x \rightarrow 0$ 时，若 $p(x)-\tan x$ 是比 $x^3$ 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是
$\text{A.}$ $a=0$
$\text{B.}$ $b=1$
$\text{C.}$ $c=0$
$\text{D.}$ $d=\frac{1}{6}$
设函数 $f(x)$ 具有二阶导数， $g(x)=f(0)(1-x)+f(1) x$ ，则在 $[0,1]$ 上
$\text{A.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时， $f(x) \geq g(x)$
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时， $f(x) \leq g(x)$
$\text{C.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时， $f(x) \geq g(x)$
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时， $f(x) \leq g(x)$
行列式 $\left|\begin{array}{llll}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|=$
$\text{A.}$ $(a d-b c)^2$
$\text{B.}$ $-(a d-b c)^2$
$\text{C.}$ $a^2 d^2-b^2 c^2$
$\text{D.}$ $b^2 c^2-a^2 d^2$
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 均为 3 维向量，则对任意的常数 $a, b$ ，向量 $\alpha_1+a \alpha_3, \alpha_2+b \alpha_3$ 线性无关是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关的
$\text{A.}$ 必要非充分条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 非充分非必要条件
设事件 $A$ 与 $B$ 相互独立， $P(B)=0.5$ ， $P(A-B)=0.3$ ，则 $P(B-A)=$
$\text{A.}$ 0.1
$\text{B.}$ 0.2
$\text{C.}$ 0.3
$\text{D.}$ 0.4
设 $X_1, X_2, X_3$ 为来自正态总体 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，则统计量 $S=\frac{X_1-X_2}{\sqrt{2}\left|X_3\right|}$ 服从的分布为
$\text{A.}$ $F(1,1)$
$\text{B.}$ ${F}(2,1)$
$\text{C.}$ $t(1)$
$\text{D.}$ $t(2)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设某商品的需求函数为 $Q=40-2 P$ ( $P$ 为商品的价格)，则该商品的边际收益为
设 $D$ 是由曲线 $x y+1=0$ 与直线 $x+y=0$ 及 $y=2$ 围成的有界区域，则 $D$ 的面积
设 $\int_0^a x e^{2 x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{4}$ ，则 $a=$
二次积分 $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_y^1\left(\frac{e^{x^2}}{x}-e^{y^2}\right) \mathrm{d} x=$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+2 a x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 的负惯性指数是 1 ，则 $a$ 的取值范围是
设总体 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{2 x}{3 \theta^2}, & \theta < x < 2 \theta \\
0 & , \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta$ 是未知参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，若 $E\left(c \sum_{i=1}^n X_i^2\right)=\theta^2$ ，则常数 $c=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_1^x\left[t^2\left(e^{\frac{1}{t}}-1\right)-t\right] \mathrm{d} t}{x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}$.
设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq 4, x \geq 0, y \geq 0\right\}$ ，计算 $I=\iint_D \frac{x \sin \left(\pi \sqrt{x^2+y^2}\right)}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设函数 $f(u)$ 具有二阶连续导数， $z=f\left(e^x \cos y\right)$ 满足 $\cos y \frac{\partial z}{\partial x}-\sin y \frac{\partial z}{\partial y}=\left(4 z+e^x \cos y\right) e^x$若 $f(0)=0$ ，求 $f(u)$ 的表达式.
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+3) x^n$ 的收敛域及和函数.
设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x)$ 单调增加， $0 \leq g(x) \leq 1$ ，证明：
(1) $0 \leq \int_a^x g(t) \mathrm{d} t \leq x-a ， x \in[a, b]$;
(2) $\int_a^{a+\int_a^b g(t) \mathrm{d} t} f(x) \mathrm{d} x \leq \int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x$.
设 $A=\left(\begin{array}{rrrr}1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3\end{array}\right) ， E$ 为 3 阶单位矩阵.
(1) 求方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系；
(2) 求满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}$ 的所有矩阵 $B$.
证明 $n$ 阶矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{array}\right) \text { 与 } B=\left(\begin{array}{cccc}
0 & \cdots & 0 & 1 \\
0 & \cdots & 0 & 2 \\
\vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & n
\end{array}\right)
$$
相似.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
$$
P\{X=1\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2}
$$
在给定 $\boldsymbol{X}=i$ 的条件下，随机变量 $\boldsymbol{Y}$ 服从均匀分布
$$
U(0, i)(i=1,2) .
$$
(1) 求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ ；
(2) 求期望 $E(Y)$.
设随机变量 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 的概率分布相同， $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
$$
P\{X=0\}=\frac{1}{3} ， P\{X=1\}=\frac{2}{3} ，
$$
且 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}=\frac{1}{2}$.
(1) 求 $(X, Y)$ 的概率分布;
(2) 求 $P\{X+Y \leq 1\}$.