2014年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数三)

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2014年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数三)

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 设

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

，且

a \neq 0

，则当

n

充分大时有

A.

| a_{n} | > \frac{| a |}{2}

B.

| a_{n} | < \frac{| a |}{2}

C.

a_{n} > a - \frac{1}{n}

D.

a_{n} < a + \frac{1}{n}

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2. 下列曲线中有渐近线的是

A.

y = x + \sin x

B.

y = x^{2} + \sin x

C.

y = x + \sin \frac{1}{x}

D.

y = x^{2} + \sin \frac{1}{x}

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3. 设

p (x) = a + b x + c x^{2} + d x^{3}

，当

x \to 0

时，若

p (x) - \tan x

是比

x^{3}

高阶的无穷小，则下列选项中错误的是

A.

a = 0

B.

b = 1

C.

c = 0

D.

d = \frac{1}{6}

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4. 设函数

f (x)

具有二阶导数，

g (x) = f (0) (1 - x) + f (1) x

，则在

[0, 1]

上

A.

当

f^{'} (x) \geq 0

时，

f (x) \geq g (x)

B.

当

f^{'} (x) \geq 0

时，

f (x) \leq g (x)

C.

当

f^{''} (x) \geq 0

时，

f (x) \geq g (x)

D.

当

f^{''} (x) \geq 0

时，

f (x) \leq g (x)

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5. 行列式

| \begin{array}{llll} 0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d \end{array} | =

A.

(a d - b c)^{2}

B.

- (a d - b c)^{2}

C.

a^{2} d^{2} - b^{2} c^{2}

D.

b^{2} c^{2} - a^{2} d^{2}

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6. 设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

均为 3 维向量，则对任意的常数

a, b

，向量

α_{1} + a α_{3}, α_{2} + b α_{3}

线性无关是向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关的

A.

必要非充分条件

B.

充分非必要条件

C.

充分必要条件

D.

非充分非必要条件

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7. 设事件

A

与

B

相互独立，

P (B) = 0.5

，

P (A - B) = 0.3

，则

P (B - A) =

A.

0.1

B.

0.2

C.

0.3

D.

0.4

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8. 设

X_{1}, X_{2}, X_{3}

为来自正态总体

N (0, σ^{2})

的简单随机样本，则统计量

S = \frac{X_{1} - X_{2}}{\sqrt{2} | X_{3} |}

服从的分布为

A.

F (1, 1)

B.

F (2, 1)

C.

t (1)

D.

t (2)

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 设某商品的需求函数为

Q = 40 - 2 P

(

P

为商品的价格)，则该商品的边际收益为

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10. 设

D

是由曲线

x y + 1 = 0

与直线

x + y = 0

及

y = 2

围成的有界区域，则

D

的面积

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11. 设

\int_{0}^{a} x e^{2 x} d x = \frac{1}{4}

，则

a =

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12. 二次积分

\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{1} (\frac{e^{x^{2}}}{x} - e^{y^{2}}) d x =

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13. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + 2 a x_{1} x_{3} + 4 x_{2} x_{3}

的负惯性指数是 1 ，则

a

的取值范围是

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14. 设总体

X

的概率密度为

f (x; θ) = {\begin{array}{cc} \frac{2 x}{3 θ^{2}}, & θ < x < 2 θ \\ 0 & , 其他 \end{array}

其中

θ

是未知参数，

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本，若

E (c \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}) = θ^{2}

，则常数

c =

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三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. 求极限

lim_{x \to + \infty} \frac{\int_{1}^{x} [t^{2} (e^{\frac{1}{t}} - 1) - t] d t}{x^{2} \ln (1 + \frac{1}{x})}

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16. 设平面区域

D = {(x, y) ∣ 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4, x \geq 0, y \geq 0}

，计算

I = \iint_{D} \frac{x \sin (π \sqrt{x^{2} + y^{2}})}{x + y} d x d y

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17. 设函数

f (u)

具有二阶连续导数，

z = f (e^{x} \cos y)

满足

\cos y \frac{\partial z}{\partial x} - \sin y \frac{\partial z}{\partial y} = (4 z + e^{x} \cos y) e^{x}

若

f (0) = 0

，求

f (u)

的表达式.

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18. 求幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) (n + 3) x^{n}

的收敛域及和函数.

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19. 设函数

f (x)

和

g (x)

在区间

[a, b]

上连续，且

f (x)

单调增加，

0 \leq g (x) \leq 1

，证明：
(1)

0 \leq \int_{a}^{x} g (t) d t \leq x - a ， x \in [a, b]

;
(2)

\int_{a}^{a + \int_{a}^{b} g (t) d t} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x

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20. 设

A = (\begin{array}{rrrr} 1 & - 2 & 3 & - 4 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 3 \end{array}) ， E

为 3 阶单位矩阵.
(1) 求方程组

A x = 0

的一个基础解系；
(2) 求满足

A B = E

的所有矩阵

B

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21. 证明

n

阶矩阵

A = (\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 1 & \dots & 1 \end{array}) 与 B = (\begin{array}{cccc} 0 & \dots & 0 & 1 \\ 0 & \dots & 0 & 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & n \end{array})

相似.

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22. 设随机变量

X

的概率分布为

P {X = 1} = P {X = 2} = \frac{1}{2}

在给定

X = i

的条件下，随机变量

Y

服从均匀分布

U (0, i) (i = 1, 2) .

(1) 求

Y

的分布函数

F_{Y} (y)

；
(2) 求期望

E (Y)

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23. 设随机变量

X, Y

的概率分布相同，

X

的概率分布为

P {X = 0} = \frac{1}{3} ， P {X = 1} = \frac{2}{3} ，

且

X

与

Y

的相关系数

ρ_{X Y} = \frac{1}{2}

.
(1) 求

(X, Y)

的概率分布;
(2) 求

P {X + Y \leq 1}

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