设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x)$ 单调增加， $0 \leq g(x) \leq 1$ ，证明：
(1) $0 \leq \int_a^x g(t) \mathrm{d} t \leq x-a ， x \in[a, b]$;
(2) $\int_a^{a+\int_a^b g(t) \mathrm{d} t} f(x) \mathrm{d} x \leq \int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x$.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$