决胜2024年高考数学押题预测模拟卷

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决胜2024年高考数学押题预测模拟卷

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 若

(1 - 2 i) (z - 3 - 2 i) = 2 + i

, 则

z =

A.

3 - 3 i

B.

3 + 3 i

C.

- 3 + 3 i

D.

- 3 - 3 i

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2. 已知向量

\vec{a} = (2, 0), \vec{b} = (- 1, \sqrt{3})

, 则

\vec{a}

与

(\vec{a} - \vec{b})

夹角的余弦值为

A.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

B.

- \frac{1}{2}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{\sqrt{3}}{2}

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3. “直线

x \sin θ + \frac{1}{2} y - 1 = 0

与

x + y \cos θ + 1 = 0

平行” 是 “

θ = \frac{π}{4}

” 的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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4. 若

(x - 1)^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}

, 则

a_{2} + a_{4} + a_{6} =

A.

B.

C.

D.

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5. 公元 656 年, 唐代李淳风注《九章》时提到祖桓的 “开立圆术” . 祖桓在求球的体积时, 使用一个原理： “幂势既同, , 则积不容异” “幕” 是截面积, “势” 是立体的高, 意思是两个同高的立体, 如在等高处的截面积相等, 则体积相等. 更详细点说就是, 介于两个平行平面之间的两个立体, 被任一平行于这两个平面的平面所截, 如果两个截面的面积相等, 则这两个立体的体积相等. 上述原理在中国被称为 “祖峘原理”.

3 D

打印技术发展至今, 已经能够满足少量个性化的打印需求, 现在用

3 D

打印技术打印了一个 “睡美人城堡” . 如图, 其在高度为

h

的水平截面的面积

S

可以近似用函数

S (h) = π (9 - h)^{2}, h \in [0, 9]

拟合, 则该 “睡美人城堡” 的体积约为

A.

27 π

B.

81 π

C.

108 π

D.

243 π

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6. 在

△ A B C

中, 内角

A, B, C

的对边分别为

a 、 b 、 c

, 若

(a + c) (\sin A - \sin C) = b (\sin A - \sin B)

, 且

c = \sqrt{3}

, 则

a - \frac{b}{2}

的取值范围为

A.

(- 1, 2)

B.

(\frac{\sqrt{3}}{2}, 2)

C.

(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3})

D.

(- 1, \sqrt{3})

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7. 已知正实数

a, b, c

满足

\frac{2 a + 1}{a} = 2^{a} - a, \frac{3 b + 1}{b} = 3^{b} - b, \frac{4 c + 1}{c} = 4^{c} - c

, 则

a, b, c

的大小关系为

A.

c < b < a

B.

a < b < c

C.

a < c < b

D.

b < a < c

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8. 已知

F_{1}, F_{2}

是椭圆和双曲线的公共焦点,

P

是它们的一个公共点, 且

∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}

, 若粗圆的离心率为

e_{1}

, 双曲线的离心率为

e_{2}

, 则

\frac{e_{1}^{2}}{e_{1}^{2} + 1} + \frac{3 e_{2}^{2}}{e_{2}^{2} + 3}

的最小值是

A.

\frac{2 + \sqrt{3}}{3}

B.

\frac{1 + \sqrt{3}}{3}

C.

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

D.

\frac{4 \sqrt{3}}{3}

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二、多选题（共 3 题），每题有多个选项正确

9. 下列说法正确的是

A.

数据

6, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 1, 10

的第 70 百分位数是 8.5

B.

若随机变量

X \sim N (2, σ^{2}), P (x > 1) = 0.68

, 则

P (2 \leq x < 3) = 0.18

C.

设

A, B

为两个随机事件,

P (A) > 0

, 若

P (B ∣ A) = P (B)

, 则事件

A

与事件

B

相互独立

D.

根据分类变量

X

与

Y

的成对样本数据, 计算得到

χ^{2} = 4.712

, 依据

α = 0.05

的卡方独立性检验

(x_{0.05} = 3.841)

, 可判断

X

与

Y

有关且该判断犯错误的概率不超过 0.05

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10. 若函数

f (x) = 2 \sin^{2} x \cdot \log_{2} \sin x + 2 \cos^{2} x \cdot \log_{2} \cos x

, 则

A.

f (x)

的最小正周期为

π

B.

f (x)

的图象关于直线

x = \frac{π}{4}

对称

C.

f (x)

的最小值为 -1

D.

f (x)

的单调递减区间为

(2 k π, \frac{π}{4} + 2 k π), k \in Z

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11. 设函数

f (x)

的定义域为

R, f (x)

为奇函数,

f (1 + x) = f (1 - x), f (3) = 1

, 则

A.

f (- 1) = 1

B.

f (x) = f (4 + x)

C.

f (x) = f (4 - x)

D.

\sum_{k = 1}^{18} f (k) = - 1

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三、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

12. 已知集合

A = {x ∣ - 2 < x < 4}, B = {x | 2^{x} > \frac{1}{2}}

, 则

A \cap B =

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13. 已知

A

为圆

C : x^{2} + (y - 1)^{2} = \frac{1}{4}

上的动点,

B

为圆

E : (x - 3)^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}

上的动点,

P

为直线

y = \frac{1}{2} x

上的动点, 则

| P B | - | P A |

的最大值为

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14. 已知数列

{a_{n}}

的通项公式为

a_{n} = \frac{1}{n + 3}, S_{n} = a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{n} a_{n + 1}

, 若对任意

n \in N^{*}

, 不等式

4 λ (n + 3) S_{n} < n + 2

恒成立, 则实数

λ

的取值范围是

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四、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. 甲、乙、丙三人进行投篮比赛, 共比赛 10 场, 规定每场比赛分数最高者获胜, 三人得分 (单位:
分）情况统计如下:

（1）从上述 10 场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率;
（2）在上述 10 场比赛中, 从甲得分不低于 10 分的场次中随机选择两场, 设

X

表示乙得分大于丙得分的场数, 求

X

的分布列和数学期望

E (X)

;
（3）假设每场比赛获胜者唯一, 且各场相互独立, 用上述 10 场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率. 甲、乙、丙三人接下来又将进行 6 场投篮比赛, 设

Y_{1}

为甲获胜的场数,

Y_{2}

为乙获胜的场数,

Y_{3}

为丙获胜的场数, 写出方差

D (Y_{1}), D (Y_{2}), D (Y_{3})

的大小关系.

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16. 如图, 在多面体

A B C D E F

中, 底面

A B C D

为平行四边形,

A B = 2, A D = 2 \sqrt{2}, ∠ A B D = 90^{\circ}

,矩形

B D E F

所在平面与底面

A B C D

垂直,

M

为

C E

的中点.
(1) 求证: 平面

B D M / /

平面

A E F

;
(2) 若平面

B D M

与平面

B C F

夹角的余弦值为

\frac{\sqrt{10}}{5}

, 求

C E

与平面

B D M

所成角的正弦值.

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17. 已知函数

f (x) = x - a \ln x - 1 (a \in R)

.
(1) 若曲线

y = f (x)

在点

(1, 0)

处的切线为

x

轴, 求

a

的值;
(2) 讨论

f (x)

在区间

(1, + \infty)

内极值点的个数;

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18. 已知抛物线:

y^{2} = 2 x

, 直线

l : y = x - 4

, 且点

B, D

在抛物线上.
(1) 若点

A, C

在直线

l

上, 且

A, B, C, D

四点构成菱形

A B C D

, 求直线

B D

的方程;
(2) 若点

A

为抛物线和直线

l

的交点 (位于

x

轴下方), 点

C

在直线

l

上, 且

A, B, C, D

四点构成矩形

A B C D

, 求直线

B D

的斜率.

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19. 若无穷数列

{a_{n}}

的各项均为整数. 且对于

\forall i, j \in N^{*}, i < j

, 都存在

k > j

, 使得

a_{k} = a_{i} a_{j} - a_{i} - a_{j}

, 则称数列

{a_{n}}

满足性质

P

.
(1) 判断下列数列是否满足性质

P

, 并说明理由.
①

a_{n} = n, n = 1, 2, 3, \dots

;
②

b_{n} = n + 2, n = 1, 2, 3, \dots

.
(2) 若数列

{a_{n}}

满足性质

P

, 且

a_{1} = 1

, 求证: 集合

{n \in N^{*} ∣ a_{n} = 3}

为无限集;
(3) 若周期数列

{a_{n}}

满足性质

P

, 请写出数列

{a_{n}}

的通项公式 (不需要证明).

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