单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
若 $(1-2 \mathrm{i})(z-3-2 \mathrm{i})=2+\mathrm{i}$, 则 $z=$
$\text{A.}$ $3-3 \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $3+3 \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $-3+3 \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $-3-3 \mathrm{i}$
已知向量 $\vec{a}=(2,0), \vec{b}=(-1, \sqrt{3})$, 则 $\vec{a}$ 与 $(\vec{a}-\vec{b})$ 夹角的余弦值为
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
“直线 $x \sin \theta+\frac{1}{2} y-1=0$ 与 $x+y \cos \theta+1=0$ 平行” 是 “ $\theta=\frac{\pi}{4}$ ” 的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
若 $(x-1)^6=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4+a_5 x^5+a_6 x^6$, 则 $a_2+a_4+a_6= $
$\text{A.}$ 64
$\text{B.}$ 33
$\text{C.}$ 32
$\text{D.}$ 31
公元 656 年, 唐代李淳风注 《九章》时提到祖桓的 “开立圆术” . 祖桓在求球的体积时, 使用一个原理： “幂势既同, , 则积不容异” “幕” 是截面积, “势” 是立体的高, 意思是两个同高的立体, 如在等高处的截面积相等, 则体积相等. 更详细点说就是, 介于两个平行平面之间的两个立体, 被任一平行于这两个平面的平面所截, 如果两个截面的面积相等, 则这两个立体的体积相等. 上述原理在中国被称为 “祖峘原理”. $3 \mathrm{D}$ 打印技术发展至今, 已经能够满足少量个性化的打印需求, 现在用 $3 \mathrm{D}$ 打印技术打印了一个 “睡美人城堡” . 如图, 其在高度为 $h$ 的水平截面的面积 $\mathrm{S}$ 可以近似用函数 $S(h)=\pi(9-h)^2, h \in[0,9]$ 拟合, 则该 “睡美人城堡” 的体积约为
$\text{A.}$ $27 \pi$
$\text{B.}$ $81 \pi$
$\text{C.}$ $108 \pi$
$\text{D.}$ $243 \pi$
在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$, 若 $(a+c)(\sin A-\sin C)=b(\sin A-\sin B)$, 且 $c=\sqrt{3}$, 则 $a-\frac{b}{2}$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $\left(-1,2 \right)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 2\right)$
$\text{C.}$ $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3}\right)$
$\text{D.}$ $(-1, \sqrt{3})$
已知正实数 $a, b, c$ 满足 $\frac{2 a+1}{a}=2^a-a, \frac{3 b+1}{b}=3^b-b, \frac{4 c+1}{c}=4^c-c$, 则 $a, b, c$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $c < b < a$
$\text{B.}$ $a < b < c$
$\text{C.}$ $a < c < b$
$\text{D.}$ $b < a < c$
已知 $F_1, F_2$ 是椭圆和双曲线的公共焦点, $P$ 是它们的一个公共点, 且 $\angle F_1 P F_2=\frac{\pi}{3}$, 若粗圆的离心率为 $e_1$, 双曲线的离心率为 $e_2$, 则 $\frac{e_1^2}{e_1^2+1}+\frac{3 e_2^2}{e_2^2+3}$ 的最小值是
$\text{A.}$ $\frac{2+\sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1+\sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
下列说法正确的是
$\text{A.}$ 数据 $6,2,3,4,5,7,8,9,1,10$ 的第 70 百分位数是 8.5
$\text{B.}$ 若随机变量 $X \sim N\left(2, \sigma^2\right), P(x>1)=0.68$, 则 $P(2 \leq x < 3)=0.18$
$\text{C.}$ 设 $A, B$ 为两个随机事件, $P(A)>0$, 若 $P(B \mid A)=P(B)$, 则事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立
$\text{D.}$ 根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据, 计算得到 $\chi^2=4.712$, 依据 $\alpha=0.05$ 的卡方独立性检验 $\left(x_{0.05}=3.841\right)$, 可判断 $X$ 与 $Y$ 有关且该判断犯错误的概率不超过 0.05
若函数 $f(x)=2 \sin ^2 x \cdot \log _2 \sin x+2 \cos ^2 x \cdot \log _2 \cos x$, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$
$\text{B.}$ $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{\pi}{4}$ 对称
$\text{C.}$ $f(x)$ 的最小值为 -1
$\text{D.}$ $f(x)$ 的单调递减区间为 $\left(2 k \pi, \frac{\pi}{4}+2 k \pi\right), k \in Z$
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathrm{R}, f(x)$ 为奇函数, $f(1+x)=f(1-x), f(3)=1$, 则
$\text{A.}$ $f(-1)=1$
$\text{B.}$ $f(x)=f(4+x)$
$\text{C.}$ $f(x)=f(4-x)$
$\text{D.}$ $\sum_{k=1}^{18} f(k)=-1$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知集合 $A=\{x \mid-2 < x < 4\}, B=\left\{x \left\lvert\, 2^x>\frac{1}{2}\right.\right\}$, 则 $A \cap B=$
已知 $A$ 为圆 $C: x^2+(y-1)^2=\frac{1}{4}$ 上的动点, $B$ 为圆 $E:(x-3)^2+y^2=\frac{1}{4}$ 上的动点, $P$ 为直线 $y=\frac{1}{2} x$ 上的动点, 则 $|P B|-|P A|$ 的最大值为
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=\frac{1}{n+3}, S_n=a_1 a_2+a_2 a_3+\cdots+a_n a_{n+1}$, 若对任意 $n \in \mathrm{N}^*$, 不等式 $4 \lambda(n+3) S_n < n+2$ 恒成立, 则实数 $\lambda$ 的取值范围是
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
甲、乙、丙三人进行投篮比赛, 共比赛 10 场, 规定每场比赛分数最高者获胜, 三人得分 (单位:
分）情况统计如下:
（1）从上述 10 场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率;
（2）在上述 10 场比赛中, 从甲得分不低于 10 分的场次中随机选择两场, 设 $X$ 表示乙得分大于丙得分的场数, 求 $X$ 的分布列和数学期望 $E(X)$;
（3）假设每场比赛获胜者唯一, 且各场相互独立, 用上述 10 场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率. 甲、乙、丙三人接下来又将进行 6 场投篮比赛, 设 $Y_1$ 为甲获胜的场数, $Y_2$ 为乙获胜的场数, $Y_3$ 为丙获胜的场数, 写出方差 $D\left(Y_1\right), D\left(Y_2\right), D\left(Y_3\right)$ 的大小关系.
如图, 在多面体 $A B C D E F$ 中, 底面 $A B C D$ 为平行四边形, $A B=2, A D=2 \sqrt{2}, \angle A B D=90^{\circ}$,矩形 $B D E F$ 所在平面与底面 $A B C D$ 垂直, $M$ 为 $C E$ 的中点.
(1) 求证: 平面 $B D M / /$ 平面 $A E F$;
(2) 若平面 $B D M$ 与平面 $B C F$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$, 求 $C E$ 与平面 $B D M$ 所成角的正弦值.
已知函数 $f(x)=x-a \ln x-1(a \in \mathbf{R})$.
(1) 若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,0)$ 处的切线为 $x$ 轴, 求 $a$ 的值;
(2) 讨论 $f(x)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 内极值点的个数;
已知抛物线: $y^2=2 x$, 直线 $l: y=x-4$, 且点 $B, D$ 在抛物线上.
(1) 若点 $A, C$ 在直线 $l$ 上, 且 $A, B, C, D$ 四点构成菱形 $A B C D$, 求直线 $B D$ 的方程;
(2) 若点 $\mathrm{A}$ 为抛物线和直线 $l$ 的交点 (位于 $x$ 轴下方), 点 $C$ 在直线 $l$ 上, 且 $A, B, C, D$ 四点构成矩形 $A B C D$, 求直线 $B D$ 的斜率.
若无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为整数. 且对于 $\forall i, j \in \mathbf{N}^*, i < j$, 都存在 $k>j$, 使得 $a_k=a_i a_j-a_i-a_j$, 则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足性质 $P$.
(1) 判断下列数列是否满足性质 $P$, 并说明理由.
① $a_n=n, n=1,2,3, \cdots$;
②$b_n=n+2, n=1,2,3, \cdots$.
(2) 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足性质 $P$, 且 $a_1=1$, 求证: 集合 $\left\{n \in \mathbf{N}^* \mid a_n=3\right\}$ 为无限集;
(3) 若周期数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足性质 $P$, 请写出数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式 (不需要证明).