若无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为整数. 且对于 $\forall i, j \in \mathbf{N}^*, i < j$, 都存在 $k>j$, 使得 $a_k=a_i a_j-a_i-a_j$, 则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足性质 $P$.
(1) 判断下列数列是否满足性质 $P$, 并说明理由.
① $a_n=n, n=1,2,3, \cdots$;
②$b_n=n+2, n=1,2,3, \cdots$.
(2) 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足性质 $P$, 且 $a_1=1$, 求证: 集合 $\left\{n \in \mathbf{N}^* \mid a_n=3\right\}$ 为无限集;
(3) 若周期数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足性质 $P$, 请写出数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式 (不需要证明).