已知 $F_1, F_2$ 是椭圆和双曲线的公共焦点, $P$ 是它们的一个公共点, 且 $\angle F_1 P F_2=\frac{\pi}{3}$, 若粗圆的离心率为 $e_1$, 双曲线的离心率为 $e_2$, 则 $\frac{e_1^2}{e_1^2+1}+\frac{3 e_2^2}{e_2^2+3}$ 的最小值是
$\text{A.}$ $\frac{2+\sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1+\sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$