单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
数据 $6.0,7.4,8.0,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1$ 的 50 百分位数为
$\text{A.}$ 8.4
$\text{B.}$ 8.5
$\text{C.}$ 8.6
$\text{D.}$ 8.7
已知双曲线 $C: y^2-\frac{x^2}{b^2}=1(b>0)$ 的离心率 $e < \sqrt{2}$, 则 $b$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(0,1)$
$\text{B.}$ $(1, \sqrt{2})$
$\text{C.}$ $(1,+\infty)$
$\text{D.}$ $(\sqrt{2}, \mp \infty)$
若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_2=11, a_{n+1}=\frac{1}{1-a_n}$, 则 $a_{985}=$
$\text{A.}$ $\frac{11}{10}$
$\text{B.}$ 11
$\text{C.}$ $-\frac{1}{10}$
$\text{D.}$ $\frac{10}{11}$
已知平面 $\alpha, \beta$, 直线 $l \subset \alpha$, 直线 $m$ 不在平面 $\alpha$ 上, 下列说法正确的是
$\text{A.}$ 若 $\alpha / / \beta, m / / \beta$, 则 $l / / m$
$\text{B.}$ 若 $\alpha / / \beta, m \perp \beta$, 则 $l \perp m$
$\text{C.}$ 若 $l / / m, \alpha / / \beta$, 则 $m / / \beta$
$\text{D.}$ 若 $l \perp m, m / / \beta$, 则 $\alpha \perp \beta$
在某次美术专业测试中, 若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是 $0.6,0.7$ 和 0.5 , 且三人的测试结果相互独立, 则测试结束后, 在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下, 乙没有达优秀等级的概率为
$\text{A.}$ $\frac{15}{29}$
$\text{B.}$ $\frac{7}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{17}{29}$
在平面直角坐标系中, 集合 $A=\{(x, y) \mid k x-y+k=0\}$, 集合 $B=\{(x, y) \mid y=k x-1\}$, 已知点 $\boldsymbol{M} \in \boldsymbol{A}$, 点 $N \in B$, 记 $d$ 表示线段 $M N$ 长度的最小值, 则 $d$ 的最大值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\sqrt{2}$
已知函数 $f(x)=\cos 2 x, g(x)=\sin x$, 则存在 $\theta \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$, 使得
$\text{A.}$ $2 g(\theta)=f(\theta)+g(\theta) \cdot f(\theta)$
$\text{B.}$ $4 g(\theta) \cdot f(\theta)=f(\theta)+2 g(\theta)$
$\text{C.}$ $2 f(\theta)=g(\theta)+g(\theta) \cdot f(\theta)$
$\text{D.}$ $f(\theta)=g(\theta)$
已知平面上两定点 $\mathrm{A} 、 B$, 则所有满足 $\frac{|P A|}{|P B|}=\lambda(\lambda>0$ 且 $\lambda \neq 1)$ 的点 $P$ 的轨迹是一个圆心在 $A B$ 上,半径为 $\left|\frac{\lambda}{1-\lambda^2}\right| \cdot|A B|$ 的圆. 这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现, 故称作阿氏圆.已知棱长为 3 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 表面上动点 $P$ 满足 $|P A|=2|P B|$, 则点 $P$ 的轨迹长度为
$\text{A.}$ $2 \pi$
$\text{B.}$ $\frac{4 \pi}{3}+\sqrt{3} \pi$
$\text{C.}$ $\frac{4 \pi}{3}+\frac{\sqrt{3} \pi}{2}$
$\text{D.}$ $(2+\sqrt{3}) \pi$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知复数 $z_0=1-\mathrm{i}, z=x+y \mathrm{i}(x, y \in \mathbf{R})$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 方程 $\left|z-z_0\right|=2$ 表示的 $z$ 在复平面内对应点的轨迹是圆
$\text{B.}$ 方程 $\left|z-z_0\right|+\left|z-\overline{z_0}\right|=2$ 表示的 $z$ 在复平面内对应点的轨迹是椭圆
$\text{C.}$ 方程 $\left|z-z_0\right|-\left|z-\overline{z_0}\right|=1$ 表示的 $z$ 在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支
$\text{D.}$ 方程 $\left|z+\frac{1}{2}\left(z_0+\overline{z_0}\right)\right|=\left|z-z_0\right|$ 表示的 $z$ 在复平面内对应点的轨迹是抛物线
已知 $\theta$ 为锐角, 则下列说法错误的是
$\text{A.}$ 满足 $\tan \theta=\cos \theta+\sin \theta$ 的 $\theta$ 值有且仅有一个
$\text{B.}$ 满足 $\sin \theta, \tan \theta, \cos \theta$ 成等比数列的 $\theta$ 值有且仅有一个
$\text{C.}$ $\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$ 三者可以以任意顺序构成等差数列
$\text{D.}$ 存在 $\theta$ 使得 $\tan \theta-\sin \theta, \cos \theta-\sin \theta, \cos \theta-\tan \theta$ 成等比数列
已知无穷数列 $\left\{a_n\right\}, a_1=1$. 性质 $s: \forall m, n \in \mathbf{N}^*, a_{m+n}>a_m+a_n$, 性质 $t: \forall m, n \in \mathbf{N}^*$, $2 \leq m < n, a_{m-1}+a_{n+1}>a_m+a_n$, 下列说法中正确的有
$\text{A.}$ 若 $a_n=3-2 n$, 则 $\left\{a_n\right\}$ 具有性质 $s$
$\text{B.}$ 若 $a_n=n^2$, 则 $\left\{a_n\right\}$ 具有性质 $t$
$\text{C.}$ 若 $\left\{a_n\right\}$ 具有性质 $s$, 则 $a_n \geq n$
$\text{D.}$ 若等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 既满足性质 $s$ 又满足性质 $t$, 则其公比的取值范围为 $(2,+\infty)$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $p:-3 \leq x \leq 1, q: x \leq a$ ( $a$ 为实数). 若 $q$ 的一个充分不必要条件是 $p$, 则实数 $a$ 的取值范围是
各棱长均为 1 且底面为正方形的平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$, 满足 $\angle A_1 A B=\angle A_1 A D=60^{\circ}$, 则 $\left|A C_1\right|=$ ; 此平行六面体的体积为
已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的增函数 $f(x)$ 满足对任意的 $x_1, x_2 \in \mathbf{R}$ 都有 $f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right) f\left(x_2\right)$, 且 $f(3)=8$, 函数 $g(x)$ 满足 $g(x)+g(4-x)=4, g(6-x)=g(x)$, 且当 $x \in[2,3]$ 时 $g(x)=f(x-1)$. 若 $g(x)$ 在 $[0,100]$ 上取得最大值的 $x$ 值依次为 $x_1, x_2, \ldots, x_k$, 取得最小值的 $x$ 值依次为 $x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, \ldots$, $x_n^{\prime}$, 则 $\sum_{i=1}^k\left[x_i+g\left(x_i\right)\right]+\sum_{i=1}^n\left[x_i^{\prime}+g\left(x_i^{\prime}\right)\right]=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\ln x+\frac{a}{2} x^2-(a+1) x, g(x)=-a x^2+(a+1) x$.
(1) 讨论函数 $f(x)$ 的单调性;
(2) 若 $f(x)+g(x) \leq 0$ 恒成立, 求 $a$ 的取值范围.
有两个盒子, 其中 1 号盒子中有 3 个红球, 2 个白球; 2 号盒子中有 6 个红球, 4 个白球. 现按照如下规则摸球. 从两个盒子中任意选择一个盒子, 再从盒中随机摸出 2 个球, 摸球的结果是一红一白.
(1) 你认为较大可能选择的是哪个盒子?请做出你的判断, 并说明理由;
(2) 如果你根据 (1) 中的判断, 面对相同的情境, 作出了 5 次同样的判断, 记判断正确的次数为 $X$, 求
$X$ 的数学期望 (实际选择的盒子与你认为较大可能选择的盒子相同时, 即为判断正确).
如图 1, 已知正三角形 $A B C$ 边长为 4 , 其中 $\overrightarrow{A D}=3 \overrightarrow{D B}, \overrightarrow{A E}=3 \overrightarrow{E C}$, 现沿着 $D E$ 翻折, 将点 $\mathrm{A}$ 翻折到点 $A^{\prime}$ 处, 使得平面 $A^{\prime} B C \perp$ 平面 $D B C, M$ 为 $A^{\prime} C$ 中点, 如图 2.
(1) 求异面直线 $A^{\prime} D$ 与 $E M$ 所成角的余弦值;
(2) 求平面 $A^{\prime} B C$ 与平面 $D E M$ 夹角的余弦值.
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 和点 $R(4,5)$. 点 $P$ 在 $C$ 上, 且 $\overrightarrow{O P}=\frac{4}{5} \overrightarrow{O R}$.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 若过点 $R$ 作两条直线 $l_1$ 与 $l_2, l_1$ 与 $C$ 相交于 $\mathrm{A}, B$ 两点, $l_2$ 与 $C$ 相交于 $E, D$ 两点, 线段 $A B$ 和 $E D$ 中点的连线的斜率为 $k$, 直线 $A B, E D, A D, B E$ 的斜率分别为 $k_1, k_2, k_3, k_4$, 证明: $\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=\frac{1}{k_3}+\frac{1}{k_4}$, 且 $\frac{1}{k_3}+\frac{1}{k_4}-\frac{1}{k}$ 为定值.
若存在 $x_0 \in D$ 使得 $f(x) \leq f\left(x_0\right)$ 对任意 $x \in D$ 恒成立, 则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 在 $D$ 上的最大值点, 记函数 $f(x)$ 在 $D$ 上的所有最大值点所构成的集合为 $M$
(1) 若 $f(x)=-x^2+2 x+1, D=\mathbf{R}$, 求集合 $M$ ；
(2) 若 $f(x)=\frac{\left(2^x-x\right) x}{4^x}, D=\mathbf{R}$, 求集合 $M$;
(3) 设 $a$ 为大于 1 的常数, 若 $f(x)=x+a \sin x, D=[0, b]$, 证明, 若集合 $M$ 中有且仅有两个元素, 则所有满足条件的 $b$ 从小到大排列构成一个等差数列.