数学试题讲解

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在平面直角坐标系

x O y

中, 已知抛物线

C : y^{2} = 2 p x (p > 0)

和点

R (4, 5)

. 点

P

在

C

上, 且

\vec{O P} = \frac{4}{5} \vec{O R}

.
(1) 求

C

的方程;
(2) 若过点

R

作两条直线

l_{1}

与

l_{2}, l_{1}

与

C

相交于

A, B

两点,

l_{2}

与

C

相交于

E, D

两点, 线段

A B

和

E D

中点的连线的斜率为

k

, 直线

A B, E D, A D, B E

的斜率分别为

k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}

, 证明:

\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} = \frac{1}{k_{3}} + \frac{1}{k_{4}}

, 且

\frac{1}{k_{3}} + \frac{1}{k_{4}} - \frac{1}{k}

为定值.