在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 和点 $R(4,5)$. 点 $P$ 在 $C$ 上, 且 $\overrightarrow{O P}=\frac{4}{5} \overrightarrow{O R}$.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 若过点 $R$ 作两条直线 $l_1$ 与 $l_2, l_1$ 与 $C$ 相交于 $\mathrm{A}, B$ 两点, $l_2$ 与 $C$ 相交于 $E, D$ 两点, 线段 $A B$ 和 $E D$ 中点的连线的斜率为 $k$, 直线 $A B, E D, A D, B E$ 的斜率分别为 $k_1, k_2, k_3, k_4$, 证明: $\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=\frac{1}{k_3}+\frac{1}{k_4}$, 且 $\frac{1}{k_3}+\frac{1}{k_4}-\frac{1}{k}$ 为定值.