已知复数 $z_0=1-\mathrm{i}, z=x+y \mathrm{i}(x, y \in \mathbf{R})$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 方程 $\left|z-z_0\right|=2$ 表示的 $z$ 在复平面内对应点的轨迹是圆
$\text{B.}$ 方程 $\left|z-z_0\right|+\left|z-\overline{z_0}\right|=2$ 表示的 $z$ 在复平面内对应点的轨迹是椭圆
$\text{C.}$ 方程 $\left|z-z_0\right|-\left|z-\overline{z_0}\right|=1$ 表示的 $z$ 在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支
$\text{D.}$ 方程 $\left|z+\frac{1}{2}\left(z_0+\overline{z_0}\right)\right|=\left|z-z_0\right|$ 表示的 $z$ 在复平面内对应点的轨迹是抛物线