单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
设集合 $\mathrm{A}=\{-2,-1,0,1,2\}, B=\left\{x \mid 0 \leq x < \frac{5}{2}\right\}$, 则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $\{0,1,2\}$
$\text{B.}$ $\{-2,-1,0\}$
$\text{C.}$ $\{0,1\}$
$\text{D.}$ $\{1,2\}$
某社区通过公益讲座以及普及社区居民的垃圾分类知识. 为了解讲座效果, 随机抽取 10 位社区居民, 让他们在讲坐前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷, 这 10 位社区居 民在讲库前和讲座后问卷答题的止确率如下图:
则
$\text{A.}$ 讲座朔问卷答题的正确率的中位数小于 $70 \%$
$\text{B.}$ 讲库后问卷答题的正确率的平均数大于 $85 \%$
$\text{C.}$ 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
$\text{D.}$ 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
若 $z=1+i$, 则 $|i z+3 \bar{z}|=$
$\text{A.}$ $4 \sqrt{5}$
$\text{B.}$ $4 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{5}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{2}$
4. 如图, 网格纸上绘制的是一个多面体的三视图, 网格小正方系的边长为 1 , 则该多而体的体积为
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 12
$\text{C.}$ 16
$\text{D.}$ 20
将函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega \succ 0)$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度后得到曲线 $\mathrm{C}$, 若 $\mathrm{C}$ 关于 $\mathrm{y}$ 轴对称，则 $\omega$ 的最小值是:
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
从分别写有 $1,2,3,4,5,6$ 的 6 张卡片中无放回随机抽取 2 张, 则抽到的 2 张卡片 上的数字之积是 4 的倍数的概率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
函数 $y=\left(3^{x}-3^{-x}\right) \cos x $ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $ 的图像大致为
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
当 $x=1$ 时, 函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}$ 取得最大值 $-2$, 则 $f^{\prime}(2)=$
$\text{A.}$ $-1$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $1$
在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 已知 $B_{1} D$ 与平而 $A B C D$ 和平而 $A A_{1} B_{1} B$ 所成的角均为 $30^{\circ}$, 则
$\text{A.}$ $A B=2 A D$
$\text{B.}$ $A B$ 与平面 $A B_{1} C_{1} D$ 所成的角为 $30^{\circ}$
$\text{C.}$ $A C=C B_{1}$
$\text{D.}$ $B_{1} D$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成的角为 $45^{\circ}$
甲、乙两个圆锥母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为$2\pi$， 侧面积分布是 $S_甲$和$S_乙$，提交分布为$V_甲$和$V_乙$，若 $\dfrac{S_甲}{S_乙}=2$， 则$\dfrac{V_甲}{V_乙}=$
$\text{A.}$ $\sqrt{5}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{10}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \sqrt{10}}{4}$
已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{3}, A_{1}, A_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右顶点, $B$ 为 $C$ 的上顶点. 若 $\overrightarrow{B A_{1}} \cdot \overrightarrow{B A_{2}}=-1$, 则 $C$ 的方程为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{16}=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$
$\text{D.}$ $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$
已知 $9^{m}=10, a=10^{m}-11, b=8^{m}-9$, 则 ( )
$\text{A.}$ $a>0>b$
$\text{B.}$ $a>b>0$
$\text{C.}$ $b>a>0$
$\text{D.}$ $b>0>a$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知向量 $a=(m, 3), b=(1, m+1)$, 若 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$, 则 $m=$
设点 $M$ 在直线 $2 x+y-1=0$ 上, 点 $(3,0)$ 和 $(0,1)$ 的在 $\odot M$ 上,则 $\odot M$ 的方程为
双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $e$, 写出满足条件“直线 $y=2 x$ 与 $C$ 无公共 点”的 $e$ 的一个值
已知 $\triangle A B C$ 中, 点 $D$ 在边 $B C$ 上, $\angle A D B=120^{\circ}, A D=2, C D=2 B D$, 当 $\frac{A C}{A B}$ 取得最小值时,
$$
B D=
$$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
甲、乙两城之间的长途客车均由 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 两家公司运葶, 为了解这两家公司长途客车 的运行情况, 随机调查了甲、乙两城之间的 500 个班次, 得到下面列联表：
（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率：
(2) 能否有 $90 \%$ 的把据认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?
附: $\mathrm{k}^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$.
(1) 证明: $\left\{a_{n}\right\}$ 是等孝数列:
（2）若 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列, 求 $S_{n}$ 的最小值.
小明同学䅟加综合实跷活动, 设计了一个封闭的包装点, 包装盒如图所示: 底面 $A B C D$ 是边长为 8 (单位: $\mathrm{cm}$ ) 的正方形, $\triangle E A B, \triangle F B C, \triangle G C D, \triangle H D A$ 均为正三角形, 且 它们所在的平而都与平面 $A B C D$ 垂直.
(1) 证明: $E F / /$ 平面 $A B C D$
(2) 求该包装盒的容积 (不计包装盒材料的原度)
已知函数 $f(x)=x^{3}-x, g(x)=x^{2}+a$, 曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)$ 处的切线也是曲线 $y=g(x)$ 的切线.
（1）若 $x_{1}=-1$, 求 $a$ :
(2) 求 $a$ 的取值范目.
设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 点 $D(p, 0)$, 过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 互点.当直线 $M D$ 垂直于 $x$ 轴时, $\mid M F=3$.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 设直线 $M D, N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$, 记直线 $M N, A B$ 的倾斜角分别为 $\alpha$, $\beta$. 当 $\alpha-\beta$ 取得最大值时, 求直线 $A B$ 的方程.
在直角坐标系 $\mathrm{xOy}$ 中, 曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2+t}{6} \\ y=\sqrt{t}\end{array}\right.$ ， $\mathrm{t}$ 是参数), 曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的参数方
程为 $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{2+s}{6} \\ y=-\sqrt{s}\end{array},(\mathrm{~s}\right.$ 是参数 $) .$
(1) 写出 $\mathrm{C}_{1}$ 的普通方程;
(2) 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴建立极坐标系, 曲线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $2 \cos \theta-\sin \theta=$ 0 , 求 $C_{3}$ 与 $C_{1}$ 交点的直角坐标, 及 $C_{3}$ 与 $C_{2}$ 交点的直角坐标.
已知 $a, b, c$ 均为正数, 且 $a^{2}+b^{2}+4 c^{2}=3$, 证明:
(1) $a+b+2 c \leq 3$;
(2) 若 $b=2 c$, 则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c} \geq 3$.