题号:1047    题型:单选题    来源:2022 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国甲卷)
在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 已知 $B_{1} D$ 与平而 $A B C D$ 和平而 $A A_{1} B_{1} B$ 所成的角均为 $30^{\circ}$, 则
$A.$ $A B=2 A D$ $B.$ $A B$ 与平面 $A B_{1} C_{1} D$ 所成的角为 $30^{\circ}$ $C.$ $A C=C B_{1}$ $D.$ $B_{1} D$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成的角为 $45^{\circ}$
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答案:
D

解析:

如图由题意可知 $\angle B_{1} D B$ 和 $\angle D B_{1} A$ 分别是 $B_{1} D$ 与平面 $A B C D$ 和平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成
的角, 所以 $\angle B_{1} D B=\angle D B_{1} A=30^{\circ}$, 设 $A B=a, A D=b, A A_{1}=c$ 根据题意有 $\frac{b}{\sqrt{a^{2}+c^{2}}}=\tan 30^{\circ}$,即 $a^{2}+c^{2}=3 b^{2}$ (1), 同 理 有 $a^{2}+b^{2}=3 c^{2}$ (2), 由 (1) 和 (2) 可得 $a=\sqrt{2} b, b=$ 所以 $A B=\sqrt{2} A D$ 铷误; 所以 $A C=\sqrt{3} b, C B_{1}=\sqrt{2} b, C$ 错误:
过 $B$ 做 $B M \perp A B_{1}$ 于 $M$, 则 $B M \perp$ 面 $A B_{1} C_{1} D, \angle B A B_{1}$ 是 $A B$ 与平面 $A B_{1} C_{1} D$ 所成的角, $\sin B A B_{1}=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+c^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, 所以 $B$ 错误; $\angle B_{1} D C$ 是 $B_{1} D$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成的角, $\sin \angle B_{1} D C=\frac{B_{1} C}{B_{1} D}=\frac{\sqrt{2} b}{2 b}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \angle B_{1} D C=\frac{\pi}{4}$, 故选 D.

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