已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{3}, A_{1}, A_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右顶点, $B$ 为 $C$ 的上顶点. 若 $\overrightarrow{B A_{1}} \cdot \overrightarrow{B A_{2}}=-1$, 则 $C$ 的方程为 ( )
A. $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{16}=1$
B. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1$
C. $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$
D. $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$