【ID】1049 【题型】单选题 【类型】高考真题 【来源】2022 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国甲卷)
已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{3}, A_{1}, A_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右顶点, $B$ 为 $C$ 的上顶点. 若 $\overrightarrow{B A_{1}} \cdot \overrightarrow{B A_{2}}=-1$, 则 $C$ 的方程为 ( )
$A.$ $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{16}=1$ $B.$ $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1$ $C.$ $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$ $D.$ $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$
答案:
C

解析:

由题意, $A_{1}(-a, 0), A_{2}(a, 0), B(0, b)$, 所以 $\overrightarrow{B A_{1}}=(-a,-b), \overrightarrow{B A_{2}}=(a,-b)$, $\overrightarrow{B A_{1}} \cdot \overrightarrow{B A_{2}}=-a^{2}+b^{2}=-1$ (1). 又 $1-\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{2}{3}$, 即 $b^{2}=\frac{2}{3} a^{2}$, 代入(1)式解得 $a^{2}=3, b^{2}=2$, 所 以 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$, 答案选 $C$.

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