题号:1053    题型:填空题    来源:2022 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国甲卷)
双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $e$, 写出满足条件“直线 $y=2 x$ 与 $C$ 无公共 点”的 $e$ 的一个值
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答案:
2 (答案不唯一, 只要 $1 < e < \sqrt{5}$ 即可)

解析:

因为双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a} x$,
要使直线 $y=2 x$ 与 $C$ 无公共点, 则只需要 $2 > \frac{b}{a}$ 即可,
由 $\frac{b}{a} < 2$ 的 $\frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}=\frac{b^{2}}{a^{2}} < 4$, 所以 $e^{2} < 5$,
解得 $1 < e < \sqrt{5}$.
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