题号:1057    题型:填空题    来源:2022 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国甲卷)
小明同学䅟加综合实跷活动, 设计了一个封闭的包装点, 包装盒如图所示: 底面 $A B C D$ 是边长为 8 (单位: $\mathrm{cm}$ ) 的正方形, $\triangle E A B, \triangle F B C, \triangle G C D, \triangle H D A$ 均为正三角形, 且 它们所在的平而都与平面 $A B C D$ 垂直.
(1) 证明: $E F / /$ 平面 $A B C D$
(2) 求该包装盒的容积 (不计包装盒材料的原度)

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答案:
(1) 过点 $E$ 作 $E E^{\prime} \perp A B$ 于点 $E^{\prime}$, 过点 $F$ 作 $F F^{\prime} \perp B C$ 于点 $F^{\prime}$, 连接 $E^{\prime} F^{\prime}$
$\because$ 底面 $A B C D$ 是边长为 8 的正方形, $\triangle E A B 、 \triangle F B C$ 均为正三觓形, 且它们所在的平 面都与平面 $A B C D$ 垂直,
$$
\therefore E E^{\prime} \perp A B, F F^{\prime} \perp B C \text {, }
$$
$\therefore E E^{\prime} \perp$ 平面 $A B C D, F F^{\prime} \perp$ 平面 $A B C D$,
$\therefore E F \| E^{\prime} F^{\prime}$,
$\therefore E^{\prime} F^{\prime} \subset$ 平面 $A B C D$,
$\therefore E F \|$ 平面 $A B C D$.

(2) 同理, 过点 $G, H$ 分别作 $G G^{\prime} \perp C D, H H^{\prime} \perp D A$, 交 $C D, D A$ 于点 $G^{\prime}, H^{\prime}$,
连接 $F^{\prime} G^{\prime}, G^{\prime} H^{\prime}, H^{\prime} E^{\prime}, A C$, 由 (1) 及题意可知,
$G^{\prime}, H^{\prime}$ 分别为 $C D, D A$ 的中点, $E F G H-E^{\prime} F^{\prime} G^{\prime} H^{\prime}$ 为长方体,
故该包装盒可分成一个长方体和四个相等的四梭锥组合而成.
由底面 $A B C D$ 是边长为 8 的正方形可得: $E^{\prime} F^{\prime}=H^{\prime} E^{\prime}=\frac{1}{2} A C=4 \sqrt{2}$,
$\therefore$ 所求该包装盒的容积为
$$
\begin{aligned}
V=& V_{E F G H-E^{\prime} F^{\prime} G^{\prime}}+4 V_{A-E E^{\prime} H} \\
=& E^{\prime} F^{\prime} \times E^{\prime} H^{\prime} \times E E^{\prime}+4 \times \frac{1}{3} \times S_{E E H H} \times \frac{1}{4} A C \\
\\
=\frac{640 \sqrt{3}}{3}
\end{aligned}
$$
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