2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国乙卷)模拟考试（老高考-终结版）

导出试卷

2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国乙卷)模拟考试（老高考-终结版）

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 已知集合

M = {x ∣ x > 1}, N = {x ∣ \log_{2} x > 1}

, 则

A.

M \cap N = {x ∣ x > 1}

B.

M \cup N = {x ∣ x > 1}

C.

C_{M} N = {x ∣ 1 < x < 2}

D.

M = N

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

2. 复数

z

满足

{| \frac{z}{1 + i} |}^{2} = z (2 - i)

i

为虚数单位, 则

| z | =

A.

B.

1 或

3 \sqrt{2}

C.

2 \sqrt{5}

D.

0 或

2 \sqrt{5}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

3. 已知向量

∣ \vec{a} = (4, 2)

, 向量

\vec{b} = (x, - 1)

, 若

\vec{a} / / \vec{b}

, 则

| \vec{b} | =

A.

\sqrt{5}

B.

5

C.

\frac{\sqrt{5}}{2}

D.

\frac{5}{4}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

4. 已知数列

{a_{n}}

满足

\frac{a_{n + 1} - a_{n}}{(1 + a_{1}^{2}) (1 + a_{2}^{2}) . . . (1 + a_{n}^{2})} = 0 (n \in N^{*})

, 则

A.

a_{2021} > a_{1}

B.

a_{2021} < a_{1}

C.

数列

{a_{n}}

是等差数列

D.

数列

{a_{n}}

是等比数列

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

5. 抛物线

y^{2} = 2 p x (p > 0)

的焦点到直线

y = x + 1

的距离为

\sqrt{2}

, 则

p =

A.

B.

C.

2 \sqrt{2}

D.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

6. 执行如图所示的程序框图，输出的结果是

A.

B.

C.

D.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

7. 四面体

A B C D

中,

A B = C D = 3

, 其余棱长均为

4, E, F

分别为

A B, C D

上的点 (不含端点), 则

A.

不存在

E

, 使得

E F ⊥ C D

B.

存在

E

, 使得

D E ⊥ C D

C.

存在

E

, 使得

D E ⊥

平面

A B C

D.

存在

E, F

, 使得平面

C D E ⊥

平面

A B F

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

8. 设数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 若

a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}

, 则

S_{99} =

A.

B.

C.

D.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

9. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为

O, O^{'}

, 过直线

O O^{'}

的平面截该圆柱所得的面是面积为 8 的正方形, 则该圆柱的表面积为

A.

12 \sqrt{2} π

B.

12 π

C.

8 \sqrt{2} π

D.

10 π

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

10. 某公司为了促进技术部门之间良好的竞争风气，公司决定进行一次信息化技术比赛，三个技术部门分别为麒麟部，龙吟部，鹰隼部，比赛规则如下：①每场比赛有两个部门参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的部门与未参加此场比赛的部门进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个部门首先获胜两场，则本次比赛结束，该部门就获得此次信息化比赛的“优胜部门”．已知在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为，麒麟部胜鹰隼部的概率为3/5，龙吟部胜鹰隼部的概率为1/2．当麒麟部与龙吟部进行首场比赛时，麒麟部获得“优胜部门”的概率是

A.

\frac{4}{45}

B.

\frac{2}{9}

C.

\frac{4}{15}

D.

\frac{13}{45}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

11. 已知

F_{1}

是双曲线

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左焦点, 点

P

在双曲线上, 直线

P F_{1}

与

x

轴垂直, 且

| P F_{1} | = a

, 那么双曲线的离心率是

A.

\sqrt{2}

B.

\sqrt{3}

C.

D.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

12. 已知函数

f (x) = {\begin{matrix} x, x > 0 \\ e^{2 x}, x \leq 0^{'} \end{matrix}, g (x) = - x^{2} + 2 x

(其中

e

是自然对数的底数), 若关于

x

的方程

g (f (x)) - m = 0

恰有三个不等实根

x_{1}, x_{2}, x_{3}

, 且

x_{1} < x_{2} < x_{3}

, 则

x_{2} - 2 x_{1} - 2 x_{3}

的最小值为

A.

\ln 3 - 3

B.

\frac{3}{2} - \ln 2

C.

\ln 2 - 3

D.

- 1

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 已知甲、乙两名篮球运动员投篮投中的概率分别为0.5和0.8，且甲、乙两人投篮的结果互不影响．若甲、乙两人各投篮一次，则至少有一人投中的概率为

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

14. 已知椭圆的中心在坐标原点, 右焦点与圆

x^{2} + m y^{2} - 6 m x - 7 = 0

的圆心重合, 长轴长等于圆的直径, 那么短轴长等于

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

15. 已知函数

f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (x \in R, ω > 0)

的最小焉周期为

π

, 将

y = f (x)

的图象向左平移

ϕ

(φ > 0)

个单位长度, 所得函数

y = g (x)

为偶函数时, 则

ϕ

的最小值是

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

16. 函数

f (x) = x^{2} - \frac{a}{2} \ln x - \frac{x}{2} (a \in R)

在

[\frac{1}{16}, 1]

内不存在极值点, 则

a

的取值范围是

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

三、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 已知

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c, \frac{\sin B}{2 b} = \frac{\cos C}{c}

.
(1) 求

\frac{\sin C + 2 \cos C}{2 \sin C - \cos C}

的值;
(2) 若

c = 2 \sqrt{5}, △ A B C

的面积为 5 , 求

△ A B C

的周长.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

18. 如图,

C

是以

A B

为直径的圆

O

上异于

A, B

的点, 平面

P A C

平面

A B C, △ P A C

中,

P A = P C

= A C = 2, B C = 4, E, F

分别是

P C, P B

的中点.

|(1) 求证:

B C ⊥

平面

P A C

;
(2) 记平面

A E F

与平面

A B C

的交线为直线

l

, 点

Q

为直线

l

上动点. 求直线

P Q

与平面

A E F

所成的角的取值范围.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

19. 在 2020年的新冠肺炎疫情影响下，国内国际经济形势呈现出前所未有的格局．某企业统计了2020 年前 5个月份企业的利润，如下表所示：

(1) 根据所给的数据建立该企业所获得的利润

y

(万元) 关于月份

x

的回归直线方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

, 并预测 2020 年 12 月份该企业所获得的利润;
(2) 企业产品的质量是企业的生命, 该企业为了生产优质的产品投放市场, 对于生产的每一件产品必须要经过四个环节的质量检查, 若每个环节中出现不合格产品立即进行修复, 且每个环节是相互独立的, 前三个环节中生产的产品合格的概率为

\frac{1}{2}

, 每个环节中不合格产品所需要的修复费用均为 100 元, 第四个环节中产品合格的概率为

\frac{3}{4}

, 不合格产品需要的修复费用为 50 元, 设每件产品修复的费用为

ξ

元, 写出

ξ

的分布列, 并求出每件产品需要修复的平均费用.
参考公式: 回归直线方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \overset{―}{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}

\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}, \bar{x}, \bar{y}

为样本数据的平均值.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

20. 已知等轴双曲线的顶点

F_{1} (- 2, 0), F_{2} (2, 0)

分别是椭圆

C

的左、右焦点, 且

x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}

是粗圆与双曲线某个交点的横坐标.
(1) 求椭圆

C

的方程;
(2) 设直线

l

与椭圆

C

相交于

A, B

两点, 以线段

A B

为直径的圆过椭圆的上顶点

M

, 求证: 直线

l

恒过定点.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

21. 已知函数

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x

.
(1) 若

g (x) = f (x) - x + a \ln x

, 讨论

g (x)

的单调性;
(2) 已知

h (x) = 2 f (x) - x \ln x - 4 a + 2

, 若方程

h (x) = 0

在

\frac{1}{2}, + \infty)

有且只有两个解, 求实数

a

的取值范围.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

22. 在直角坐标系

x O y

中, 曲线

C_{1}

的参数方程为

{\begin{cases} x = \cos^{k} t, \\ y = \sin^{k} t \end{cases}

(

t

为参数). 以坐标原点为极点,

x

轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线

C_{2}

的极坐标方程为

4 ρ \cos θ - 16 ρ \sin θ + 3 = 0

.
(1) 当

k = 1

时,

C_{1}

是什么曲线?
(2) 当

k = 4

时, 求

C_{1}

与

C_{2}

的公共点的直角坐标.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

23. 已知

f (x) = | x - a | x + | x - 2 | (x - a)

.
(1) 当

a = 1

时, 求不等式

f (x) < 0

的解集;
(2) 若

x \in (- \infty, 1)

时,

f (x) < 0

, 求

a

的取值范围.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

非会员每天可以查看15道试题。开通会员，海量试题无限制查看。

无限看试题
下载试题
组卷

开通会员

热点推荐

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与

试卷白板

试卷白板提供了一个简单的触摸书写板，可供老师上课、或者视频直播时，直接利用白板给学生讲解试题，如有意见，欢迎反馈。