2023年2月中部十校联盟（陕西、山西、河南等）第三次摸底考试（老高考）文科试卷

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2023年2月中部十校联盟（陕西、山西、河南等）第三次摸底考试（老高考）文科试卷

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 设全集

U = {- 1, 0, 1, 2, 3}

, 集合

A = {- 1, 0, 1}, B = {- 1, 1}

, 则

C_{U} (A \cap B) =

A.

{2}

B.

{2, 3}

C.

{0, 2, 3}

D.

{0, 1, 2, 3}

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2. 设复数

z = \frac{10}{3 - i} + 2 i

, 则

| z | =

A.

3 \sqrt{2}

B.

2 \sqrt{3}

C.

3 \sqrt{3}

D.

\sqrt{10}

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3. 已知向量

a = (m + 4, m), b = (3, 1)

, 且

a / / b

, 则

m =

A.

B.

C.

D.

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4. 下图是我国跨境电商在 2016-2022 年的交易规模与增速表, 由图可以知道下列结论正确的是

A.

这 7 年我国跨境电商交易规模的平均数为

8.0

万亿元

B.

这 7 年我国跨境电商交易规模的增速越来越大

C.

这 7 年我国跨境电商交易规模的极差为

7.6

万亿元

D.

图中我国跨境电商交易规模的 6 个增速的中位数为

13.8 %

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5. 设函数

f (x) = 2 \ln x - \frac{1}{2} x^{2} + x

的图象在

x = 1

处的切线为

l

, 则

l

在

x

轴上的截距为

A.

- \frac{3}{4}

B.

\frac{3}{4}

C.

\frac{3}{2}

D.

- \frac{3}{2}

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6. 函数

f (x) = \frac{3^{x} \cos 6 x}{3^{2 x} - 1}

的图象大致为

A.

B.

C.

D.

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7. 将函数

f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})

的图象向左平移

\frac{π}{4}

个单位长度, 得到函数

g (x)

的图象, 下列说法正确的是

A.

g (x)

为奇函数

B.

g (x)

在

[0, \frac{π}{3}]

上单调递减

C.

g (x)

在

[- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}]

上的值域为

[0, \sqrt{3}]

D.

点

(- \frac{π}{6}, 0)

是

g (x)

图象的一个对称中心

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8. 设椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的半焦距为

c

, 若

a - c = 4, b = 6

, 则

C

的离心率为

A.

\frac{5}{12}

B.

\frac{3}{5}

C.

\frac{5}{13}

D.

\frac{12}{13}

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9. 在正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

E

为

B C

的中点, 则异面直线

A_{1} C

与

B_{1} E

所成角的余弦值为

A.

\frac{\sqrt{10}}{5}

B.

\frac{\sqrt{15}}{5}

C.

\frac{\sqrt{5}}{5}

D.

\frac{2 \sqrt{5}}{5}

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10. 设等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 若

S_{3} = - 27, a_{4} = 5 a_{6}

, 且

S_{m} > 0

, 则

m

的最小值为

A.

B.

C.

D.

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11. 如图, 青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体, 下半部分可以近似看作两个圆台的组合体, 已知

A B = 9 cm, C D = 3 cm

, 则该青铜器的表面积为 (假设上、下底面圆是封闭的)

A.

\frac{(36 \sqrt{3} + 81) π}{2} {cm}^{2}

B.

(18 \sqrt{3} + 58) π {cm}^{2}

C.

\frac{(24 \sqrt{3} + 81) π}{2} {cm}^{2}

D.

(18 \sqrt{3} + 36) π {cm}^{2}

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12. 定义函数

min {f (x), g (x)} = {\begin{cases} f (x), f (x) ⩽ g (x), \\ g (x), f (x) > g (x), \end{cases},

(x)

min {| x | - 1, x^{2} - 2 a x + a + 2}

, 若

h (x) = 0

至少有 3 个不同的解, 则实数

a

的取值范围是

A.

[1, 2]

B.

[2, 3]

C.

[3, 4]

D.

[4, 5]

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 设

x, y

满足约束条件

{\begin{cases} 3 x - 2 y - 5 ⩽ 0, \\ x ⩾ 1, \\ y ⩽ 2, \end{cases}

则

z = - 2 x + y

的最小值为

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14. 已知函数

f (x) = (x - 1) (3 - x)

, 在

[0, 5]

上任取一个实数

x

, 使得

f (x) ⩾ 0

的概率为

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15. 1904 年, 瑞典科学家海里格・冯・科赫引人一条曲线一一科赫曲线,曲线是这样构造的: (1)作一直线段

E_{0}

; (2)将直线段

E_{0}

三等分, 以中间三分之一线段为底作一个等边三角形, 并擦去等边三角形的底, 得到由四条线段构成的折线图

E_{1}

; (3)对

E_{1}

的每条线段同样用等边三角形的两边替代原线段的三分之一线段,得到折线图

E_{2}

(4)无限重复上述过程,依次得到

E_{3}, E_{4}, \dots \dots

, ,最后得到一条复杂曲线

F

即称为科赫曲线,

若线段

E_{0}

的长度为 1 米, 则

E_{n}

的长度为（　　）
若

E_{n} \geq 10000

,则正整数

n

的最小值为（　　）

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16. 已知抛物线

C : x^{2} = 2 y

, 直线

l

与抛物线

C

交于

A, B

两点, 过

A, B

分别作抛物线

C

的切线

l_{1}, l_{2}

若

l_{1} ⊥ l_{2}

, 且

l_{1}

与

l_{2}

交于点

M

, 则

△ M A B

的面积的最小值为

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三、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17.

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 已知

b \cos C + c \cos B = \frac{\sqrt{3}}{3} a \tan C

.
(1) 求角

C

;
(2) 若

b = 2 a, △ A B C

的面积为

2 \sqrt{3}

, 求

c

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18. 某校近期举行了 “2022 年新闻时事知识竞赛”, 现在随机抽查参赛的 200 名学生的得分 (满分 100 分), 按照

[30, 40), [40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]

制作成如图所示的频率分布直方图, 已知

0.015, a, b

成等差数列.
(1)求出

a, b

的值,并计算参赛得分在

[60, 70)

的学生人数;
(2)学校为进一步了解学生对新闻时事获取的途径, 准备从得分在

[30, 40)

与

[90, 100]

的学生中按分层抽样的方法抽出 6 名学生,然后从中再选出

2

名学生交流新闻时事获取的途径, 求这 2人中恰有 1 人的得分在

[30, 40)

内的概率.

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19. 如图, 四边形

A B C D

是菱形,

∠ B A D = 60^{\circ}, E B ⊥

平面

A B C D, F D / / E B

F D = A B = 4 E B = 4

.
(1)证明:

A C ⊥ E F

.
(2)求点

D

到平面

C E F

的距离.

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20. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的离心率为

\sqrt{2}

, 且点

A (2, 1)

在

C

上.
(1) 求双曲线

C

的方程;
(2) 若点

M, N

在双曲线

C

上, 且

A M ⊥ A N

, 直线

M N

不与

y

轴平行, 证明: 直线

M N

的斜率

k

为定值.

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21. 已知函数

f (x) = \frac{a}{3} x^{3} - a x - x \ln x

.
(1) 若

f (x)

的导函数为

g (x)

, 讨论

g (x)

的单调性;
(2) 若

f (x) - \frac{a x^{3}}{3} + (x - a) \ln x + x e^{x} ⩾ 0

恒成立, 求实数

a

的取值范围.

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22. 选修 4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系

x O y

中, 曲线

C

的参数方程为

{\begin{cases} x = 2 \cos θ, \\ y = \sqrt{3} \sin θ \end{cases}

(

θ

为参数), 以坐标原点

O

为极点,

x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1) 写出曲线

C

的极坐标方程;
(2)已知

A, B

是曲线

C

上的两点, 且

∠ A O B = \frac{π}{4}

, 求

\frac{1}{| O A |^{2}} + \frac{1}{| O B |^{2}}

的最大值.

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23. 选修 4-5:不等式选讲
已知函数

f (x) = | x + 1 | + | x - 1 |

.
(1) 求不等式

f (x) ⩽ 6

的解集;
(2) 若

x \in [0, 2]

, 不等式

f (x) ⩽ | x - a |

恒成立, 求实数

a

的取值范围.

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