已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$, 且点 $A(2,1)$ 在 $C$ 上.
(1) 求双曲线 $C$ 的方程;
(2) 若点 $M, N$ 在双曲线 $C$ 上, 且 $A M \perp A N$, 直线 $M N$ 不与 $y$ 轴平行, 证明: 直线 $M N$ 的斜 率 $k$ 为定值.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$