单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数, 若 $f\left(x, x^2\right)=x^3, f_x\left(x, x^2\right)=x^2-2 x^4$, 则 $f_y\left(x, x^2\right)=$
$\text{A.}$ $x+x^3$
$\text{B.}$ $2 x^2+2 x^4 $
$\text{C.}$ $x^2+x^5$
$\text{D.}$ $2 x+2 x^2$
已知 $\left(a x y^3-y^2 \cos x\right) d x+\left(1+b y \sin x+3 x^2 y^2\right) d y$ 为某二元函数的全微分, 则 $a$ 和 $b$ 的 值分别为
$\text{A.}$ $-2$ 与 $2$
$\text{B.}$ $-3$ 与 $3$
$\text{C.}$ $2$ 与 $-2$
$\text{D.}$ $3$ 与 $-3$
设 $\Sigma$ 为曲面 $z=2-\left(x^2+y^2\right)$ 在 $x o y$ 平面上方的部分, 则 $I=\iint_{\Sigma} z d S=\begin{array}{ll}\quad \end{array}$
$\text{A.}$ $\int_1^{2 \pi} d \theta \int_0^{2-r^2}\left(2-r^2\right) \sqrt{1+4 r^2} r d r$
$\text{B.}$ $\int_0^2 d \theta \int_1^2\left(2-r^2\right) \sqrt{1+4 r^2} r d r$
$\text{C.}$ $\int_0^{2 \pi} d \theta \int_{-1}^{\sqrt{2}}\left(2-r^2\right) r d r$
$\text{D.}$ $\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^{\sqrt{2}}\left(2-r^2\right) \sqrt{1+4 r^2} r d r$
设有直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x-y-4 z+1=0 \\ x+y-3=0\end{array}\right.$, 曲面 $z=x^2-y^2+z^2$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切平面П, 则 直线 $L$ 与平面 $\Pi$ 的位置关系是:
$\text{A.}$ $L \subset \Pi$
$\text{B.}$ $L / / \Pi$
$\text{C.}$ $L \perp \Pi$
$\text{D.}$ $L$ 与 斜交
设 $f(x, y)=x^2+2 y+y^2+x-y+1$, 则下面结论正确的是
$\text{A.}$ 点 $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点且为极大值点
$\text{B.}$ 点 $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 是极小值点
$\text{C.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点但不是极值点
$\text{D.}$ 点 $(0,0)$ 是$f(x, y)$ 极大值点
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $z=\sqrt{\ln (x y)}$, 则 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$
函数 $u=e^{y\left(x^2+y^2\right)}$, 则 $d u=$
曲线 $ \left\{\begin{array}{c}
y=4 \\
z=\frac{x^2+y^2}{4}
\end{array}\right.
$ 在点 $(2,4,5)$处的切线方程是
$L$ 是圆周 $x^2+y^2=a^2(a>0)$ 㑔向一周, 则曲线积分 $\oint\left(x^3-x^2 y\right) d x+\left(x y^2-y^3\right) d y=$
交换二次积分的次序: $\int_0^1 d y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2-y^2}} f(x, y) d x=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=f\left(e^x \sin y, x^2+y^2\right), f$ 其有二阶连续偏导数, 求 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 及 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
设函数 $F(x, y)$ 具有一阶连续偏导数, $z=z(x, y)$ 是由方程 $F\left(\frac{x}{z}, \frac{y}{z}\right)=0$ 所确 定的隐函数, 试求表达式 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}$ 。
计算积分 $I=\iiint_{x^2+y^2 \leq x+y}(x+y) d x d y$ 。 解: 极坐标: 令 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$, 则
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} z d v$, 其中 $\Omega$ 为曲面 $z=\sqrt{2-x^2-y^2}$ 及 $z=x^2+y^2$ 所围成的闭 区域。
计算曲线积分 $\int_L\left(e^x \sin y-8 y\right) d x+\left(e^x \cos y-8\right) d y$, 其中 L 是由点 $\mathrm{A}(a, 0)$ 到点 O $(0,0)$ 的上半圆周 $x^2+y^2=a x \quad(y \geq 0, a>0)$
计算 $\iint(x+y+z) d S$, 其中曲而 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 上 $z \geq \boldsymbol{h}(0 < \boldsymbol{h} < \boldsymbol{a})$ 的部分
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(n+\frac{1}{n}\right) x^n$ 的和函数, 并求数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+1}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^n$ 的和
求解微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=e^x(1-2 x)$ 。
某企业生髙甲、乙两种产品, 其销售単价分别为 10 万元/件、 9 万元/件, 若生产 $x$ 件甲产品和 $y$ 件乙产品的总成本为 $C=400+2 x+3 y+0.01\left(3 x^2+x y+3 y^2\right)$ (万元), 又已知两种产品的总产量为 100 件, 试建立这一问题的数学模型, 并分 析两种产品的产量各为多少时企业获得最大利润。