2022高等数学(微积分)下册摸底测试与答案

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2022高等数学(微积分)下册摸底测试与答案

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x, y)

具有一阶连续偏导数, 若

f (x, x^{2}) = x^{3}, f_{x} (x, x^{2}) = x^{2} - 2 x^{4}

, 则

f_{y} (x, x^{2}) =

A.

x + x^{3}

B.

2 x^{2} + 2 x^{4}

C.

x^{2} + x^{5}

D.

2 x + 2 x^{2}

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2. 已知

(a x y^{3} - y^{2} \cos x) d x + (1 + b y \sin x + 3 x^{2} y^{2}) d y

为某二元函数的全微分, 则

a

和

b

的值分别为

A.

- 2

与

2

B.

- 3

与

3

C.

2

与

- 2

D.

3

与

- 3

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3. 设

Σ

为曲面

z = 2 - (x^{2} + y^{2})

在

x o y

平面上方的部分, 则

I = \iint_{Σ} z d S = \begin{array}{ll}  \end{array}

A.

\int_{1}^{2 π} d θ \int_{0}^{2 - r^{2}} (2 - r^{2}) \sqrt{1 + 4 r^{2}} r d r

B.

\int_{0}^{2} d θ \int_{1}^{2} (2 - r^{2}) \sqrt{1 + 4 r^{2}} r d r

C.

\int_{0}^{2 π} d θ \int_{- 1}^{\sqrt{2}} (2 - r^{2}) r d r

D.

\int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{\sqrt{2}} (2 - r^{2}) \sqrt{1 + 4 r^{2}} r d r

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4. 设有直线

L : {\begin{cases} x - y - 4 z + 1 = 0 \\ x + y - 3 = 0 \end{cases}

, 曲面

z = x^{2} - y^{2} + z^{2}

在点

(1, 1, 1)

处的切平面П, 则直线

L

与平面

Π

的位置关系是:

A.

L \subset Π

B.

L / / Π

C.

L ⊥ Π

D.

L

与斜交

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5. 设

f (x, y) = x^{2} + 2 y + y^{2} + x - y + 1

, 则下面结论正确的是

A.

点

(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})

是

f (x, y)

的驻点且为极大值点

B.

点

(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})

是极小值点

C.

点

(0, 0)

是

f (x, y)

的驻点但不是极值点

D.

点

(0, 0)

是

f (x, y)

极大值点

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 设

z = \sqrt{\ln (x y)}

, 则

x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} =

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7. 函数

u = e^{y (x^{2} + y^{2})}

, 则

d u =

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8. 曲线

{\begin{matrix} y = 4 \\ z = \frac{x^{2} + y^{2}}{4} \end{matrix}

在点

(2, 4, 5)

处的切线方程是

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L

是圆周

x^{2} + y^{2} = a^{2} (a > 0)

㑔向一周, 则曲线积分

\oint (x^{3} - x^{2} y) d x + (x y^{2} - y^{3}) d y =

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10. 交换二次积分的次序:

\int_{0}^{1} d y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2 - y^{2}}} f (x, y) d x =

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三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11. 设

z = f (e^{x} \sin y, x^{2} + y^{2}), f

其有二阶连续偏导数, 求

\frac{\partial z}{\partial y}

及

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

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12. 设函数

F (x, y)

具有一阶连续偏导数,

z = z (x, y)

是由方程

F (\frac{x}{z}, \frac{y}{z}) = 0

所确定的隐函数, 试求表达式

x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y}

。

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13. 计算积分

I = ∭_{x^{2} + y^{2} \leq x + y} (x + y) d x d y

。解: 极坐标: 令

x = r \cos θ, y = r \sin θ

, 则

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14. 计算三重积分

∭_{Ω} z d v

, 其中

Ω

为曲面

z = \sqrt{2 - x^{2} - y^{2}}

及

z = x^{2} + y^{2}

所围成的闭区域。

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15. 计算曲线积分

\int_{L} (e^{x} \sin y - 8 y) d x + (e^{x} \cos y - 8) d y

, 其中 L 是由点

A (a, 0)

到点 O

(0, 0)

的上半圆周

x^{2} + y^{2} = a x (y \geq 0, a > 0)

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16. 计算

\iint (x + y + z) d S

, 其中曲而

Σ

为球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}

上

z \geq h (0 < h < a)

的部分

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17. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (n + \frac{1}{n}) x^{n}

的和函数, 并求数项级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} + 1}{n} {(\frac{1}{2})}^{n}

的和

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18. 求解微分方程

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = e^{x} (1 - 2 x)

。

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19. 某企业生髙甲、乙两种产品, 其销售単价分别为 10 万元/件、 9 万元/件, 若生产

x

件甲产品和

y

件乙产品的总成本为

C = 400 + 2 x + 3 y + 0.01 (3 x^{2} + x y + 3 y^{2})

(万元), 又已知两种产品的总产量为 100 件, 试建立这一问题的数学模型, 并分析两种产品的产量各为多少时企业获得最大利润。

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