2022高等数学(微积分)下册摸底测试与答案-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设 $z=f\left(e^x \sin y, x^2+y^2\right), f$ 其有二阶连续偏导数, 求 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 及 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$

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答案：

解:
$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial z}{\partial y}=e^x \cos y \cdot f_1+2 y f_2 \\
& \frac{\partial z}{\partial x}=e^x \sin y \cdot f_1+2 x f_2 \\
& \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=e^x \cos y \cdot f_1+e^x \sin y \cdot\left(f_{11} e^x \cos y+2 y f_{12}\right)+2 x\left(f_{21} e^x \cos y+2 y f_{22}\right) \\
& =e^x \cos y \cdot f_1+f_{11} e^{2 x} \sin y \cos y+2 y e^x \sin y f_{12}+2 x f_{21} e^x \cos y+4 x y f_{22} \\
& =e^x \cos y \cdot f_1+e^{2 x} \sin y \cos y \cdot f_{11}+2 e^x(x \cos y+y \sin y) f_{12}+4 x y f_{22}
\end{aligned}
$$

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