2022高等数学(微积分)下册摸底测试与答案-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(n+\frac{1}{n}\right) x^n$ 的和函数, 并求数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+1}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^n$ 的和

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答案：

解：
$$
\begin{aligned}
& \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+1}{n} x^n=\sum_{n=1}^{\infty} n x^n+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^n \\
= & x \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^n \\
= & x \sum_{n=1}^{\infty}\left(x^n\right)^{\prime}+\sum_{n=1}^{\infty} \int_0^n x^{n-1} d x \\
= & x\left(\frac{1}{1-x}-1\right)^{\prime}+\int_0^n \frac{1}{1-x} d x \\
= & \frac{x}{(1-x)^2}-\ln (1-x) \quad(-1 < x < 1)
\end{aligned}
$$

取 $x=\frac{1}{2}$, 得 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+1}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^n=2+\ln 2$ 。

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