2022高等数学(微积分)下册摸底测试与答案-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设函数 $F(x, y)$ 具有一阶连续偏导数, $z=z(x, y)$ 是由方程 $F\left(\frac{x}{z}, \frac{y}{z}\right)=0$ 所确定的隐函数, 试求表达式 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}$ 。

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我来讲解

答案：

方程 $F\left(\frac{x}{z}, \frac{y}{z}\right)=0$ 两端对 $x$ 求导:
$$
\begin{aligned}
& \frac{z-x z_x}{z^2} F_1-\frac{y z_x}{z^2} F_2=0 \Rightarrow z_x=\frac{z F_1}{x F_1+y F_2} \text {, 同理可求, } z_y=\frac{z F_2}{x F_1+y F_2} \text { (6 分) } \\
& \Rightarrow x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z
\end{aligned}
$$

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