单选题 （共 17 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B$ 为双曲线 $x^2-\frac{y^2}{9}=1$ 上两点，下列四个点中，可为线段 $A B$ 中点的是
$\text{A.}$ $(1,1)$
$\text{B.}$ $(-1,2)$
$\text{C.}$ $(1,3)$
$\text{D.}$ $(-1,-4)$
点 $(3,0)$ 到双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 的一条渐近线的距离为
$\text{A.}$ $\frac{9}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{8}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{6}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$ 。过 $F_2$ 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ 。已知 $\left|P F_2\right|=2$ ，直线 $P F_1$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则双曲线的方程为（）
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{8}=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$
设 $F_1, F_2$ 是双曲线 $C: x^2-\frac{y^2}{3}=1$ 的两个焦点，$O$ 为坐标原点，点 $P$ 在 $C$ 上且 $|O P|=2$ ，则 $\triangle P F_1 F_2$ 的面积为
$\text{A.}$ $\frac{7}{2}$
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $\frac{5}{2}$
$\text{D.}$ 2
设双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_l, F_2$ ，离心率为 $\sqrt{5}, P$ 是 $C$ 上一点，且 $F_l P \perp F_2 P$ ．若 $\triangle P F_1 F_2$ 的面积为 4 ，则 $a=()$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 8
双曲线 $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=1$ 的焦距为
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ $\sqrt{5}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{5}$
$\text{D.}$ 1
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{5}$ ，点 $P(2,1)$ 在双曲线 $C$ 的一条渐近线上，则双曲线 $C$ 的方程为
$\text{A.}$ $x^2-\frac{y^2}{4}=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{4}-y^2=1$
$\text{C.}$ $\frac{3 x^2}{20}-\frac{3 y^2}{5}=1$
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$
设 $P$ 是双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{20}=1$ 上一点，$F_1, F_2$ 分别是双曲线的左、右焦点，若 $\left|P F_1\right|=9$ ，则 $\left|P F_2\right|$ 等于（ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 17
$\text{C.}$ 1 或 17
$\text{D.}$ 以上均不对
已知方程 $\frac{x^2}{1+k}-\frac{y^2}{1-k}=1$ 表示双曲线，则 $k$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $k>-1$
$\text{B.}$ $k < 1$
$\text{C.}$ $-1 < k < 1$
$\text{D.}$ $k \neq \pm 1$
中心在坐标原点，离心率为 $\frac{5}{3}$ 的双曲线的焦点在 $y$ 轴上，则它的渐近线方程为
$\text{A.}$ $4 x+3 y=0$
$\text{B.}$ $4 x \pm 3 y=0$
$\text{C.}$ $3 x+4 y=0$
$\text{D.}$ $3 x \pm 4 y=0$
已知定点 $F_1(-2,0), F_2(2,0), N$ 是圆 $O: x^2+y^2=1$ 上任意一点，点 $F_1$ 关于点 $N$ 的对称点为 $M$ ，线段 $F_1 M$的中垂线与直线 $F_2 M$ 相交于点 $P$ ，则点 $P$ 的轨迹是（）
$\text{A.}$ 椭圆
$\text{B.}$ 双曲线
$\text{C.}$ 抛物线
$\text{D.}$ 圆
$\sqrt{x^2+(y-3)^2}-\sqrt{x^2+(y+3)^2}=4$ 表示的曲线方程为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1(x \leqslant-2)$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1(x \geqslant 2)$
$\text{C.}$ $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{5}=1(y \leqslant-2)$
$\text{D.}$ $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{5}=1(y \geqslant 2)$
若双曲线 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的渐近线的斜率大于 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则双曲线离心率的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(\frac{\sqrt{21}}{3},+\infty\right)$
$\text{B.}$ $\left(1, \frac{\sqrt{21}}{3}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\sqrt{7}}{2},+\infty\right)$
$\text{D.}$ $\left(1, \frac{\sqrt{7}}{2}\right)$
已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为 $y=\sqrt{2} x$ ，点 $P(2 \sqrt{2},-\sqrt{2})$ 在 $C$ 上，则 $C$ 的方程为
（ ）
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{14}=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$
$\text{D.}$ $\frac{y^2}{14}-\frac{x^2}{7}=1$
设双曲线 $E: x^2-\frac{y^2}{3}=1$ 的左右焦点为 $F_1, F_2$ ，左顶点为 $A$ ，点 $M$ 是双曲线 $E$ 在第一象限内的一点，直线 $M F_1$ 交双曲线 $E$ 的左支于点 $N$ ，若 $N A / / M F_2$ ，则 $\left|M F_2\right|=$
$\text{A.}$ $\frac{7}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{8}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{11}{4}$
已知 $F_1, F_2$ 是双曲线 $C$ 的两个焦点，$P$ 为 $C$ 上一点，且 $\angle F_1 P F_2=60^{\circ},\left|P F_1\right|=3\left|P F_2\right|$ ，则 $C$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{7}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{13}}{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{7}$
$\text{D.}$ $\sqrt{13}$
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$ ，过 $F_2$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，$F_1 Q$ 与 $y$ 轴的交点为 $R, F_1 Q \perp P R$ ，则 $C$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\sqrt{5}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知双曲线 $C$ 的焦点为 $(-2,0)$ 和 $(2,0)$ ，离心率为 $\sqrt{2}$ ，则 $C$ 的方程为 $\qquad$ ．
已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的离心率 $e=2$ ，则该双曲线的渐近线方程为
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{m}-y^2=1(m>0)$ 的一条渐近线为 $\sqrt{3} x+m y=0$ ，则 $C$ 的焦距为
己知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$ ，点 $P$ 在双曲线的右支上，且 $P F_1=4 P F_2$ ，则双曲线的离心率 e 的最大值为
已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 右支上存在点 $P$ 使得 $P$ 到左焦点的距离等于 $P$ 到右准线的距离的 6 倍，则双曲线的离心率的取值范围是
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1）虚轴长为 12 ，离心率为 $\frac{5}{4}$ ；
（2）焦距为 26 ，且经过点 $M(0,12)$ ；
（3）经过点 $P(-3,2 \sqrt{7})$ 和点 $Q(-6 \sqrt{2},-7)$ ；
（4）焦点在 $x$ 轴上，焦距为 10 ，与双曲线 $\frac{y^2}{4}-x^2=1$ 有相同的渐近线．
己知双曲线的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，一条渐近线方程是 $y=\frac{2}{3} x$ ，两准线间的距离为 18 ，求双曲线的方程．