双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$ 。过 $F_2$ 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ 。已知 $\left|P F_2\right|=2$ ，直线 $P F_1$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则双曲线的方程为（）
A. $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$
B. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{8}=1$
C. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$
D. $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$