单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $P(A)=P(B)=0.5$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $A \cup B=S$
$\text{B.}$ 若 $A$ 发生, 则 $B$ 也发生
$\text{C.}$ 若 $P(A \cup B)=1$, 则 $A$ 与 $B$ 不相容
$\text{D.}$ 若 $P(A \cup B)=0.75$, 则 $A$ 与 $B$ 独立
已知 $P(A) P(A B) \neq 0$, 则正确的是
$\text{A.}$ $P(B C \mid A)=P(B) P(C \mid A B)$
$\text{B.}$ $P(B \mid A)=P(A)-P(\bar{B} \mid A)$
$\text{C.}$ $P(B C \mid A)=1-P(\bar{B} \bar{C} \mid A)$
$\text{D.}$ $P(B \cup C \mid A)=P(B \mid A)+P(C \mid A)-P(B C \mid A)$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 均服从 $0-1$ 分布, $P(X=1)=0.7, P(Y=1)=0.8$, 且 $P(X Y=0)=0.4$, 则 $P(X=0, Y=0)=$
$\text{A.}$ $0.1$
$\text{B.}$ $0.2$
$\text{C.}$ $0.3$
$\text{D.}$ $0.4$
设 $(X, Y) \sim N(1,2,4,4,-0.5), U=X+Y, V=X-Y$, 若已知 $(U, V)$ 是二维正态分布, 则 下面正确的是
$\text{A.}$ $X$ 与 $Y$ 不相关
$\text{B.}$ $U$ 与 $V$ 线性相关
$\text{C.}$ $U$ 与 $V$ 独立
$\text{D.}$ $V$ 与 $X$ 线性负相关
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立同分布, 若 $P(X>1)=p$, 则 $P(\max (X, Y)>1)=$
$\text{A.}$ $p$
$\text{B.}$ $1-(1-p)^2$
$\text{C.}$ $(1-p)^2$
$\text{D.}$ $p^2$
设 $X$ 为一随机变量, $E(X)=1, D(X)=0.1$, 则由切比雪夫不等式一定有
$\text{A.}$ $P(|X-1| < 1) \geq 0.1$
$\text{B.}$ $P(0 < X < 2) \geq 0.9$
$\text{C.}$ $P(|X-1| \geq 1) \geq 0.9$
$\text{D.}$ $P(0 < X < 2) < 0.1$
从总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 中抽取容量 $\boldsymbol{n}$ 的一个样本, 样本均值为 $\bar{X}$, 样本方差为 $S^2$, 下面错 误的是
$\text{A.}$ $E\left(\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}\right)=n-1$
$\text{B.}$ $D\left(S^2\right)=\frac{2 \sigma^4}{n}$
$\text{C.}$ $D\left(\left(\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}\right)^2\right)=2$
$\text{D.}$ $E\left(n S^2\right)=n \sigma^2$
设总体 $X \sim N(0,1)$, 样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>1)$ 为来自该总体的简单随机样本, $\bar{X}$ 与 $S$ 分 别为样本均值和样本标准差, 则有
$\text{A.}$ $\bar{X} \sim N(0,1)$
$\text{B.}$ $n \bar{X} \sim N(0,1)$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{n} \bar{X}}{S} \sim t(n-1)$
$\text{D.}$ $\frac{n \bar{X}}{S} \sim t(n-1)$
设总体 $X$ 的均值及方差都存在, 从中抽取样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geq 3)$, 下面总体均值的最 有效的无偏估计是
$\text{A.}$ $\left(3 X_1+X_2+X_3\right) / 5$
$\text{B.}$ $\left(X_1+X_2+X_3\right) / 3$
$\text{C.}$ $\left(X_1+X_2\right) / 2$
$\text{D.}$ $X_2$
从总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ( $\mu, \sigma^2$ 均末知）中抽取容量 $\boldsymbol{n}$ 的一个样本, 样本均值为 $\bar{X}$, 样本方 差为 $S^2$, 则 $\mu$ 的置信度为 $90 \%$ 的双侧置信区间是
$\text{A.}$ $\left(\bar{X} \mp \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{0.05}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\bar{X} \mp \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{0.1}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\bar{X} \mp \frac{S}{\sqrt{n}} t_{0.05}(n-1)\right)$
$\text{D.}$ $\left(\bar{X} \mp \frac{S}{\sqrt{n}} t_{0.1}(n-1)\right)$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}2 x, 0 < x < 1 \\ 0 \text {, 其他 }\end{array}\right.$, 若 $P(X>c)=\frac{3}{4}$, 则 $c=$ （ ） ; 若 $Y=\min (X, 0.6)$, 则 $P(Y=0.6)=$ （ ）
设 $X, Y$ 是独立且均为参数 $p$ 的 $0-1$ 分布随机变量, 定义随机变量 $Z=\left\{\begin{array}{l}0, X+Y=1 \\ 1, X+Y \neq 1\end{array}\right.$, 则
$$
P(X=0, Z=0)=\quad P(X=1, Z=1)=
$$
某元件寿命 $X$ (单位: 小时) 服从 $[100,120]$ 上的均匀分布, 若选取 $n$ 只独立元件寿命分别为 $X_1, \ldots, X_n$, 以 $Y_n$ 表示 $n$ 只元件中寿命超过 110 小时的元件数, 则 $Y_n$ 服从 分
布; 当 $n \rightarrow+\infty$ 时, 由大数定理知, $\frac{Y_n}{n}$ 依概率收敛于 ; $n$ 足够大时, 由中心 极限定理得 $\sum_{i=1}^n X_i$ 近似服从 ，而 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 近似服从
对一正态总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), \mu, \sigma^2$ 均末知, 共测量 16 次, 得到样本均值为 $\bar{x}=10.6$ 和标 准差为 $s=1.2$ 。设以下显著性水平均为 $0.05$, 检验假设 $H_0: \mu=10 ; H_1: \mu \neq 10$, 是否拒绝 $H_0$ ? 说明理由: ；检验假设 $H_0: \sigma^2 \geq 1 ; H_1: \sigma^2 < 1$ ， 是否拒绝 $H_0$ ? 说明理由:
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
一盒中有 6 个红球 5 个白球, 每次同时从中取 2 球, 不放回取 2 次。 $X, Y$ 分别 为第 1,2 次取到的红球数, 求 (1) $X$ 的分布律; (2) $X$ 的分布函数; (3) $P(Y=1)$
设随机变量$X$的概率密度
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{c}
x, 0 \leq x \leq 1 \\
c-x, 1 < x \leq 2, \quad \text { 记 } Y=2 X-1 ， 0 \text {, 他他 } \\
0, \text { 其 }
\end{array}\right.
$$
记$Y=2X-1$ 求
(1) 常数 $c$;
(2) $P\left(X < \frac{7}{6}\right)$;
(3) $Y$ 的密度函数 $f_Y(y)$
设 $(X, Y)$ 的联合密度函数为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}y, & 0 < x < 2,0 < y < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$, 问:
（1） $X, Y$ 独立吗？说明理由;
(2) $E\left(X^2 Y\right)$;
(3) $P(X>Y)$
已知总体 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}3 \theta^{-3} x^2, 0 < x \leq \theta \\ 0, \text { 其他 }\end{array}, \theta>0\right.$ 为末知常数, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为总体 $X$ 的一个样本, $\bar{X}$ 是样本均值。（1）求 $\theta$ 的一阶矩估计 $\hat{\theta}$;
(2) 求 $\theta$ 的极大似然估计 $\hat{\theta}_L ;$ (3) 判断上面所得的矩估计 $\hat{\theta}$ 的无偏性, 说明理由;
(4) 设 $Y=\max \left(X_1, \ldots, X_n\right)$, 求 $E(Y)$