设 $(X, Y)$ 的联合密度函数为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}y, & 0 < x < 2,0 < y < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$, 问:
(1) $X, Y$ 独立吗?说明理由;
(2) $E\left(X^2 Y\right)$;
(3) $P(X > Y)$
【答案】 (1) $f_X(x)=\left\{\begin{array}{cc}\int_0^1 y d y=0.5, & 0 < x < 2 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$
$$
f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc}
\int_0^2 y d x=2 y, & 0 < y < 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
$X, Y$ 独立, 因为 $f(x, y)=f_X(x) f_Y(y)$
(2) $E\left(X^2 Y\right)=\int_0^2 d x \int_0^1 x^2 y \cdot y d y=E\left(X^2\right) E(Y)=\frac{8}{9}$
(3) $P(X > Y)=\int_0^1 d y \int_y^2 y d x=\frac{2}{3}$


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