吉林省第二实验学校2022-2023学年上学期九年级第三次月考数学试题（四年制）

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吉林省第二实验学校2022-2023学年上学期九年级第三次月考数学试题（四年制）

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 某公司抽检盒装牛奶的容量, 超过标准容量的部分记为正数, 不足的部分记为负数. 从容量的角度看,以下四盒牛奶容量最接近标准的是

A.

+ 0.8 mL

B.

- 1.2 mL

C.

- 0.5 mL

D.

+ 1 mL

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2. 科学家发现了一种新型病毒, 其直径约为

0.00000042 m, 0.00000042

这个数用科学记数法表示为

A.

0.42 \times 10^{- 6}

B.

4.2 \times 10^{- 6}

C.

4.2 \times 10^{- 7}

D.

42 \times 10^{- 8}

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3. 如图是由 4 个相同的小正方体组成的立体图形, 这个立体图形的主视图是

A.

B.

C.

D.

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4. 如图,

C 、 D

是

⊙ O

上直径

A B

两侧的两点, 若

∠ A B C = 20^{\circ}

, 则

∠ B D C

的度数是

A.

50^{\circ}

B.

60^{\circ}

C.

80^{\circ}

D.

70^{\circ}

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5. 若二次函数

y = - x^{2} + b x + c

图象的顶点坐标为

(- 2, 1)

, 则

c

的值为

A.

1

B.

- 1

C.

- 2

D.

- 3

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6. 某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放, 登高梯

A C

的顶端

A

恰好放在书架的第七层的顶端. 已知登高梯的长度

A C

为 3 米, 登高梯与地面的夹角

∠ A C B

为

72^{\circ}

, 则书架第七层顶端离地面的高度

A B

为

A.

3 \sin 72^{\circ}

米

B.

\frac{3}{\sin 72^{\circ}}

米

C.

3 \cos 72^{\circ}

米

D.

\frac{3}{\cos 72^{\circ}}

米

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7. 在

△ A B C

中,

∠ B A C = 90^{\circ}, A B \neq A C

. 用无刻度的直尺和圆规在

B C

边上找一点

D

, 使

△ A C D

为等腰三角形.下列作法不正确的是

A.

B.

C.

D.

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8. 如图, 在平面直角坐标系中, 矩形

A B C D

的顶点

A, B

分别落在

y

轴、

x

轴的正半轴上,

A (0, 2), B C = 2 A B

. 若反比例函数

y = \frac{k}{x} (k > 0)

经过

C, D

两点,则

k

的值为

A.

B.

C.

D.

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 因式分解:

2 x^{2} + x y =

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10. 若关于

x

的一元二次方程

2 x^{2} - 3 x - m = 0

有两个相等的实数根, 则

m =

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11. 将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放, 则

∠ 1

的度数为（　　）度.

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12. 如图, 在平面直角坐标系中, 等边三角形

O A B

的边

O B

在

x

轴上, 点

A

在第一象限,

O B = 3

, 点

C

在线段

O A

上, 且

O C = 2

. 将

△ O A B

沿射线

O A

的方向平移至

△ C A_{1} B_{1}

的位置, 此时点

A_{1}

的坐标是

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13. 如图①, 一个扇形纸片的圆心角为

90^{\circ}

, 半径为 4 . 如图 ②, 将这张扇形纸片折叠, 使点

A

与点

O

恰好重合, 折痕为

C D

, 图中阴影为重合部分, 则阴影部分的面积为

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14. 如图, 一款落地灯的灯柱

A B

垂直于水平地面

M N

, 高度为

1.6

米, 支架部分的形状为开口向下的抛物线, 其顶点

C

距灯柱

A B

的水平距离为

0.8

米, 距地面的高度为

2.4

米,灯罩顶端

D

距灯柱

A B

的水平距离为

1.4

米, 则灯罩顶端

D

距地面的高度为（　　）米.

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三、解答题（共 10 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. 先化简, 再求值:

(x + 1) (x - 1) - x (x - 3)

, 其中

x = \sqrt{2}

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16. 某景区检票口有 A、B、C 共 3 个检票通道, 甲, 乙两人到该景区游玩, 两人分别从 3 个检票通道中随机选择一个检票.
(1)甲选择

A

检票通道的概率是
(2)用列表法或树状图法求甲、乙两人选择的检票通道恰好相同的概率.

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17. 近期, 受俄乌局势影响, 国内汽油价格不断上涨. 请你根据下面的信息 (如图), 计算今年 4 月份汽油的价格.

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18. 如图是由小正方形组成的

8 \times 8

网格, 每个小正方形的顶点叫做格点, 仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图, 并保留必要的作图痕迹.
(1) 在图 1 中, 在直线

B C

的下方作格点

D

使

A D ⊥ B C

, 连结

A D

, 垂足为

H

.
(2) 在图 2 中找出所有可能的格点

F

, 使

△ B C F

是以

B C

为直角边的等腰直角三角形, 并画出

△ B C F

.
(3) 在图 3 中的线段

B C

上画出点

G

, 使

∠ A G C = 45^{\circ}

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19. 如图, 菱形

A B C D

中,

A C 、 B D

相交于点

O

, 过点

B

作

B E ⊥ B D

, 且

B E = O C

, 连结

C E

.
(1) 求证: 四边形

O C E B

是矩形.
(2) 连接

D E

, 若

\sin ∠ C A B = \frac{3}{5}

, 则

\tan ∠ B D E

的值是

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20. 党的二十大于 2022 年 11 月 8 日至 11 日在北京举行, 为了调查大学生对大会精神的了解情况, 甲、乙两校进行了相关知识测试, 在两校各随机抽取 20 名大学生的测试成绩 (百分制), 并对数据(成绩) 进行了整理、描述和分析. 下面给出了部分信息.
a. 甲校 20 名大学生成绩的频数分布表和频数分布直方图如图:

b. 甲校成绩在

80 ⩽ m < 90

的这一组的具体成绩是:

86; 86; 87; 87; 88; 89; 89; 89

c. 甲、乙两校成绩的统计数据如表所示:

根据以如图表提供的信息, 解答下列问题:
(1) 表中

a =

M =

(2)补全甲校大学生样本成绩频数分布直方图.
(3)在此次测试中, 某学生的成绩是 86 分, 在他所属学校排在前 10 名, 由表中数据可知该学生是校的学生(填“甲”或“乙”).
(4)若甲校共有 1600 人, 成绩不低于 80 分为“优秀”, 则甲校成绩“优秀”的人数约为多少人?

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21. 为了学生的身体健康, 学校课桌、凳的高度都是按照一定的关系科学设计的. 研究表明: 课桌的高度与椅子的高度符合一次函数关系. 小明测量了一套课桌、椅对应的四档高度, 得到数据如下表:

(1) 在上面的表格中, 有一个数据被污染了, 则被污染的数据为
(2) 设课桌的高度为

y (cm)

, 椅子的高度为

x (cm

), 求

y

与

x

的函数关系式 (不必写出自变量的取值范围).
(3) 小明放学回到家, 又测量了家里的写字台的高度为

77 cm

, 登子的高度为

41 cm

, 请你判断小明家里的写字台与凳子是否符合科学设计, 并说明理由.

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22. 旋转是一种重要的图形变换, 当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题.
(1) 尝试解决: 如图①, 在等腰 Rt

△ A B C

中,

∠ B A C = 90^{\circ}, A B = A C

, 点

M

是

B C

上的一点,

B M = 2 cm, C M = 4 cm

, 将

△ A B M

绕点

A

旋转后得到

△ A C N

, 连接

M N

, 求

A M

的长度.
(2) 类比探究: 如图②, 在“筝形”四边形

A B C D

中,

A B = A D = m, C B = C D, A B ⊥ B C

于点

B

A D ⊥ C D

于点

D

, 点

P 、 Q

分别是

A B 、 A D

上的点, 且

∠ P C B + ∠ Q C D = ∠ P C Q

, 则

△ A P Q

的周长为 . (结果用含

m

的代数式表示)
(3) 拓展应用: 如图③, 已知四边形

A B C D, A D = C D, ∠ A D C = 60^{\circ}, ∠ A B C = 75^{\circ}, A B = 4 \sqrt{2}

B C = 4

, 直接写出四边形

A B C D

的面积.

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23. 如图①, 在

△ A B C

中,

B C = 11, A C = 5, \tan ∠ A C B = \frac{4}{3}

, 点

P

从点

A

出发, 沿折线

A B - B C

向点

C

运动, 点

P

在

A B

边上以每秒

\sqrt{5}

个单位长度的速度运动, 在

B C

边上以每秒 2 个单位长度的速度运动, 点

P

的运动时间为

t

秒.
(1)

A B

的长为
(2) 用含有

t

的代数式表示线段

P B

的长.
(3) 在点

P

运动的过程中, 连结

C P

, 当

∠ A P C = 2 ∠ B

时, 求

B P

的长.
(4) 如图②, 点

M

为

B C

边上一点,

B M = 5

, 连结

A M 、 M P

, 将

△ A M P

绕线段

M P

中点旋转

180^{\circ}

得到

△ A^{'} M P

, 连结

A A^{'}

, 当

A A^{'}

将

△ A B C

的面积分成

4 : 7

两部分时, 直接写出

t

的值.

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24. 在平面直角坐标系中, 抛物线

y = x^{2} + b x + c

经过点

A (0, 3)

和点

B (1, 0)

, 顶点为

D

, 点

P

是抛物线上一动点, 其横坐标为

m

.
(1) 求该抛物线函数关系式.
(2) 当点

P

在抛物线对称轴左侧时, 过点

P

作

P C ⊥ y

轴交抛物线对称轴于点

C

, 若

\tan ∠ P D C = \frac{1}{3}

, 求

m

的值.
(3) 记抛物线在点

P 、 B

两点之间的部分为图象

G

(包含

P 、 B

两点), 设图象

G

的最高点与最低点的纵坐标之差为

d

, 当

1 ⩽ d ⩽ 4

时, 求

m

的取值范围.
(4) 点

Q (2 m - 1, 4 - 2 m)

是平面内一点, 当

P Q

不与坐标轴平行时, 以

P Q

为对角线构造矩形

P M Q N

, 使矩形各边与坐标轴垂直, 当抛物线在矩形

P M Q N

内的部分所对应的函数值

y

随

x

的增大而增大或

y

随

x

的增大而减小时, 直接写出

m

的取值范围.

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