在平面直角坐标系中, 抛物线 $y=x^2+b x+c$ 经过点 $A(0,3)$ 和点 $B(1,0)$, 顶点为 $D$, 点 $P$ 是抛物线上一动点, 其横坐标为 $m$.
(1) 求该抛物线函数关系式.
(2) 当点 $P$ 在抛物线对称轴左侧时, 过点 $P$ 作 $P C \perp y$ 轴交抛物线对称轴于点 $C$, 若 $\tan \angle P D C=\frac{1}{3}$, 求 $m$ 的值.
(3) 记抛物线在点 $P 、 B$ 两点之间的部分为图象 $G$ (包含 $P 、 B$ 两点), 设图象 $G$ 的最高点与最 低点的纵坐标之差为 $d$, 当 $1 \leqslant d \leqslant 4$ 时, 求 $m$ 的取值范围.
(4) 点 $Q(2 m-1,4-2 m)$ 是平面内一点, 当 $P Q$ 不与坐标轴平行时, 以 $P Q$ 为对角线构造矩形 $P M Q N$, 使矩形各边与坐标轴垂直, 当抛物线在矩形 $P M Q N$ 内的部分所对应的函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大或 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时, 直接写出 $m$ 的取值范围.