单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2[1+f(x)]}{x-\sin x}=6$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的法线方程为 ( )
$\text{A.}$ $y=-x-1$
$\text{B.}$ $y=x-1$
$\text{C.}$ $y=-x+1$
$\text{D.}$ $y=x+1$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{[x] \sin \frac{1}{x},} & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 其中 $[x]$ 表示对 $x$ 取整, 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的 ( )
$\text{A.}$ 振荡间断点, 且为极值点
$\text{B.}$ 第一类间断点, 且不为极值点
$\text{C.}$ 振荡间断点, 且不为极值点
$\text{D.}$ 无穷间断点, 且为极值点
方程 $\frac{1}{x-a_1}+\frac{1}{x-a_2}+\cdots+\frac{1}{x-a_n}=0\left(a_1 < a_2 < \cdots < a_n\right)$ 的实根个数为 ( )
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $n-1$
$\text{D.}$ $n$
设函数 $y(x)$ 满足方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+k y=0(0 < k < 1)$, 则以下选项中必定收敛的是 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} y(x) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^{-\infty} y(x) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} x^2 y(x) d x$
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} x^{-2} y(x) d x$
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵, $B , C$ 均是 $n \times s$ 矩阵, 且 $A B = A C$, 则 $(\quad)$
$\text{A.}$ 当 $m=n$ 时, 必有 $B = C$
$\text{B.}$ $r( A )=m$ 时, 必有 $B = C$
$\text{C.}$ 当 $m>n$ 时, 必有 $B = C$
$\text{D.}$ $r( A )=n$ 时, 必有 $B = C$
$n$ 元二次型 $x ^{ T } A x$ 中矩阵 $A$ 正定的充要条件是
$\text{A.}$ 存在正交矩阵 $P$ 使得 $P ^{ T } A P = E$
$\text{B.}$ 负惯性指数为零
$\text{C.}$ $A$ 与单位矩阵合同
$\text{D.}$ 存在 $n$ 阶矩阵 $C$, 使得 $A = C ^{ T } C$
设 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 为方程组 $A x = 0$ 的一个基础解系， $\beta _1=t_1 \alpha _1+t_2 \alpha _2, \beta _2=t_1 \alpha _2+t_2 \alpha _3, \ldots$, $\beta _s=t_1 \alpha _s+t_2 \alpha _1$, 其中 $t_1, t_2$ 为实常数, $s$ 为偶数。若 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _s$ 也为 $A x = 0$ 的一个基础解系，则 $t_1, t_2$ 满足的关系为 ( )
$\text{A.}$ $t_1=t_2$
$\text{B.}$ $t_1 \neq \pm t_2$
$\text{C.}$ $t_1 \neq t_2$
$\text{D.}$ $t_1 \neq-t_2$
对 3 阶矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A ^*$ 作以下初等变换: 先交换第一行与第三行, 再将第二列的 -2 倍加到第一列上得到 $- E$, 且 $| A |>0$, 则 $A$ 等于 $( s )$
$\text{A.}$ $-\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $-\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\alpha=\int_0^{x^2} \frac{\sin t-t}{t} d t \sim a x^b \quad(x \rightarrow 0)$, 求 $a, b$ 。
设 $y=f(x)(x \geq 0)$ 连续可导, $f(0)=1$ 。已知曲线 $y=f(x) 、 x$ 轴、 $y$ 轴及过点 $(x, 0)$且垂直于 $x$ 轴的直线所围成的图形的面积与 $y=f(x)$ 在 $[0, x]$ 上的弧长相等, 求 $f(x)$ 。
设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上有连续的二阶导数, $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$, 且 $z=\left(x^2+y^2\right) f\left(x^2+y^2\right)$ 满足 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$, 求 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 的最大值。
将函数 $f(x)=\frac{x}{2+x-x^2}$ 展成 $x$ 的幂级数。
设直线 $L$ 经过点 $M(1,-2,0)$ 且与两条直线
$L_1:\left\{\begin{array}{l}2 x+z=1 \\ x-y+3 z=5\end{array}\right.$ 和 $L_2:\left\{\begin{array}{l}x=-2+t \\ y=1-4 t \text { 都垂直, 则 } L \text { 的参数方程为 } \\ z=3\end{array}\right.$
点 $A(2,1,-1)$ 关于平面 $x-y+2 z=5$ 的对称点坐标为 $\qquad$。
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $L$ 为 $x O y$ 平面内不经过原点的正向简单光滑封闭曲线, 讨论积分 $\oint_L \frac{(x-y) d x+(x+4 y) d y}{x^2+4 y^2}$ 的取值情况。
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导, 且 $f(0)=f(1)=\int_0^1 f(x) d x=0$, 求证:
(I) 方程 $f^{\prime}(x)-f(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有两个不同的实根；
(II) 方程 $f^{\prime \prime}(x)-f(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)= x ^{ T } A x$, 其 中 $A =\left(a_{i j}\right)$ 为二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的矩阵, 满足 $\sum_{i=1}^3 a_{i i}=2, A B = O$, 其中 $B =\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$.
(I) 用正交变换化二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 为标准形, 并求所用的正交变换;
(II) $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=1$ 表示什么曲面;
(III) 求二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$.
设相互独立的随机变量 $X, Y$ 分别表示从 $(0,1)$ 区间内随机取出的两个点的坐标, 令 $Z$ 表示 $X, Y$ 之间的距离。
(I) 求 $f_Z(z)$.
(II) 求 $P\left\{-\frac{1}{2} < X-Y < \frac{1}{2}\right\}$.
(III) 问随机变量 $X, Z$ 是否独立? 并说明理由.
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足条件: $a_0=1$ 及 $a_n=\frac{2 n-1}{2 n} a_{n-1}, S(x)$ 是幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2 n}$ 的和函数.
(I) 验证当 $x \in(-1,1)$ 时, $S(x)$ 满足微分方程: $\left(1-x^2\right) S^{\prime}(x)=x S(x)$, 并求 $S(x)$;
(II) 设平面闭区域 $D$ 是由曲线 $y=S(x)\left(-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}\right)$ 与 $x$ 轴所围图形, 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。
设 $f(x)$ 是二阶连续可导的偶函数, 且 $f(0)=1$, 证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]$ 绝对收敛。