2026考研数学预测卷（数一）通用模拟卷

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2026考研数学预测卷（数一）通用模拟卷

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x)

在

x = 0

处连续, 且

lim_{x \to 0} \frac{x^{2} [1 + f (x)]}{x - \sin x} = 6

, 则曲线

y = f (x)

在点

(0, f (0))

处的法线方程为 ( )

A.

y = - x - 1

B.

y = x - 1

C.

y = - x + 1

D.

y = x + 1

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2. 设函数

f (x) = {\begin{cases} [x] \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{cases}

其中

[x]

表示对

x

取整, 则

x = 0

是

f (x)

的 ( )

A.

振荡间断点, 且为极值点

B.

第一类间断点, 且不为极值点

C.

振荡间断点, 且不为极值点

D.

无穷间断点, 且为极值点

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3. 方程

\frac{1}{x - a_{1}} + \frac{1}{x - a_{2}} + \dots + \frac{1}{x - a_{n}} = 0 (a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n})

的实根个数为 ( )

A.

B.

C.

n - 1

D.

n

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4. 设函数

y (x)

满足方程

y^{''} - 2 y^{'} + k y = 0 (0 < k < 1)

, 则以下选项中必定收敛的是

()

A.

\int_{0}^{+ \infty} y (x) d x

B.

\int_{0}^{- \infty} y (x) d x

C.

\int_{0}^{+ \infty} x^{2} y (x) d x

D.

\int_{0}^{+ \infty} x^{- 2} y (x) d x

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5. 设

A

是

m \times n

矩阵,

B, C

均是

n \times s

矩阵, 且

A B = A C

, 则

()

A.

当

m = n

时, 必有

B = C

B.

r (A) = m

时, 必有

B = C

C.

当

m > n

时, 必有

B = C

D.

r (A) = n

时, 必有

B = C

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n

元二次型

x^{T} A x

中矩阵

A

正定的充要条件是

A.

存在正交矩阵

P

使得

P^{T} A P = E

B.

负惯性指数为零

C.

A

与单位矩阵合同

D.

存在

n

阶矩阵

C

, 使得

A = C^{T} C

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7. 设

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

为方程组

A x = 0

的一个基础解系，

β_{1} = t_{1} α_{1} + t_{2} α_{2}, β_{2} = t_{1} α_{2} + t_{2} α_{3}, \dots

β_{s} = t_{1} α_{s} + t_{2} α_{1}

, 其中

t_{1}, t_{2}

为实常数,

s

为偶数。若

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}

也为

A x = 0

的一个基础解系，则

t_{1}, t_{2}

满足的关系为 ( )

A.

t_{1} = t_{2}

B.

t_{1} \neq \pm t_{2}

C.

t_{1} \neq t_{2}

D.

t_{1} \neq - t_{2}

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8. 对 3 阶矩阵

A

的伴随矩阵

A^{*}

作以下初等变换: 先交换第一行与第三行, 再将第二列的 -2 倍加到第一列上得到

- E

, 且

| A | > 0

, 则

A

等于

(s)

A.

- (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{array})

B.

(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

C.

- (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ - 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array})

D.

(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 设

α = \int_{0}^{x^{2}} \frac{\sin t - t}{t} d t \sim a x^{b} (x \to 0)

, 求

a, b

。

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10. 设

y = f (x) (x \geq 0)

连续可导,

f (0) = 1

。已知曲线

y = f (x) 、 x

轴、

y

轴及过点

(x, 0)

且垂直于

x

轴的直线所围成的图形的面积与

y = f (x)

在

[0, x]

上的弧长相等, 求

f (x)

。

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11. 设

f (x)

在

[1, + \infty)

上有连续的二阶导数,

f (1) = 0, f^{'} (1) = 1

, 且

z = (x^{2} + y^{2}) f (x^{2} + y^{2})

满足

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 0

, 求

f (x)

在

[1, + \infty)

的最大值。

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12. 将函数

f (x) = \frac{x}{2 + x - x^{2}}

展成

x

的幂级数。

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13. 设直线

L

经过点

M (1, - 2, 0)

且与两条直线

L_{1} : {\begin{cases} 2 x + z = 1 \\ x - y + 3 z = 5 \end{cases}

和

L_{2} : {\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = 1 - 4 t 都垂直, 则 L 的参数方程为 \\ z = 3 \end{cases}

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14. 点

A (2, 1, - 1)

关于平面

x - y + 2 z = 5

的对称点坐标为

。

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. 设

L

为

x O y

平面内不经过原点的正向简单光滑封闭曲线, 讨论积分

\oint_{L} \frac{(x - y) d x + (x + 4 y) d y}{x^{2} + 4 y^{2}}

的取值情况。

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16. 设

f (x)

在

[0, 1]

上二阶可导, 且

f (0) = f (1) = \int_{0}^{1} f (x) d x = 0

, 求证:
(I) 方程

f^{'} (x) - f (x) = 0

在

(0, 1)

内至少有两个不同的实根；
(II) 方程

f^{''} (x) - f (x) = 0

在

(0, 1)

内至少有一个实根。

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17. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x^{T} A x

, 其中

A = (a_{i j})

为二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

的矩阵, 满足

\sum_{i = 1}^{3} a_{i i} = 2, A B = O

, 其中

B = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{array})

.
(I) 用正交变换化二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

为标准形, 并求所用的正交变换;
(II)

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 1

表示什么曲面;
(III) 求二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

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18. 设相互独立的随机变量

X, Y

分别表示从

(0, 1)

区间内随机取出的两个点的坐标, 令

Z

表示

X, Y

之间的距离。
(I) 求

f_{Z} (z)

.
(II) 求

P {- \frac{1}{2} < X - Y < \frac{1}{2}}

.
(III) 问随机变量

X, Z

是否独立? 并说明理由.

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19. 设数列

{a_{n}}

满足条件:

a_{0} = 1

及

a_{n} = \frac{2 n - 1}{2 n} a_{n - 1}, S (x)

是幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{2 n}

的和函数.
(I) 验证当

x \in (- 1, 1)

时,

S (x)

满足微分方程:

(1 - x^{2}) S^{'} (x) = x S (x)

, 并求

S (x)

;
(II) 设平面闭区域

D

是由曲线

y = S (x) (- \frac{1}{2} ⩽ x ⩽ \frac{1}{2})

与

x

轴所围图形, 求

D

绕

x

轴旋转一周所得旋转体的体积。

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20. 设

f (x)

是二阶连续可导的偶函数, 且

f (0) = 1

, 证明级数

\sum_{n = 1}^{\infty} [f (\frac{1}{n}) - 1]

绝对收敛。

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