单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $U=\{x \mid x>0\}, A=\{x \mid y=\sqrt{x-2}\}$, 则 $\mathcal{C}_U A=$
$\text{A.}$ $\{x \mid 0 < x \leqslant 2\}$
$\text{B.}$ $\{x \mid x \geqslant 2\}$
$\text{C.}$ $\{x \mid 0 < x < 2\}$
$\text{D.}$ $\{x \mid x < 2\}$
命题 $p: \forall m \in[0,1], m^2-2 m \leqslant 0$, 则 $\neg p$ 为
$\text{A.}$ $\exists m \in[0,1]$, 使得 $m^2-2 m \leqslant 0$
$\text{B.}$ $\forall m \in[0,1], m^2-2 m>0$
$\text{C.}$ $\exists m \in[0,1]$, 使得 $m^2-2 m>0$
$\text{D.}$ $\exists m \in[0,1]$, 使得 $m^2-2 m \geqslant 0$
已知函数 $f(x)$ 的导函数为 $f^{\prime}(x), f^{\prime}(-2)=-2$, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(-2-4 \Delta x)-f(-2)}{\Delta x}=$
$\text{A.}$ $-8$
$\text{B.}$ $-2$
$\text{C.}$ $2$
$\text{D.}$ $8$
函数 $f(x)=\frac{x^2 \ln |x|}{\mathrm{e}^x}$ 的部分图象大致为
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
已知定义域为 $(0,+\infty)$ 的函数 $f(x)$ 的导函数为 $f^{\prime}(x)$, 且函数 $g(x)=\left(\log _3 x-1\right) \cdot f^{\prime}(x)$ 的部分图象如图所示, 则下列说法中正确的是
$\text{A.}$ $f(x)$ 有极小值 $f(6)$, 极大值 $f(1)$
$\text{B.}$ $f(x)$ 有极小值 $f(6)$, 极大值 $f(10)$
$\text{C.}$ $f(x)$ 有极小值 $f(1)$, 极大值 $f(3)$ 和 $f(10)$
$\text{D.}$ $f(x)$ 有极小值 $f(1)$, 极大值 $f(10)$
经过政府加大投人, 一座老城被改建为一座朝气蓬勃的新城市. 2021 年该市人口约为 20 万 人, 2022 年该市人口约为 30 万人, 假设今后该市人口每年以从 2021 年到 2022 年人口数的 增长率进行增长. 若从 2021 年开始 $n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ 年后该市人口首次超过 200 万人, 则 $n=$ 参考数据: $\lg 2 \approx 0.30, \lg 3 \approx 0.48$
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 7
$\text{D.}$ 8
已知 $a=2-\ln 2, b=\sqrt{\mathrm{e}}-\frac{1}{2}, c=\mathrm{e}-1$, 则
$\text{A.}$ $c>a>b$
$\text{B.}$ $c>b>a$
$\text{C.}$ $a>c>b$
$\text{D.}$ $a>b>c$
已知函数 $f(x)=a(\ln x-1)-x(a \in \mathbf{R})$ 在区间 $(\mathrm{e},+\infty)$ 内有最值, 则实数 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(e,+\infty)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{\mathrm{e}}{2},+\infty\right)$
$\text{C.}$ $(-\infty, \mathrm{e}]$
$\text{D.}$ $(-\infty,-e)$
若函数 $f(x)=\left(x^2-a x-2\right) \mathrm{e}^{x+1}$ 有两个极值点且这两个极值点互为相反数, 则 $f(x)$ 的极小 值为
$\text{A.}$ $-6 \mathrm{e}^3$
$\text{B.}$ $-2 \mathrm{e}^3$
$\text{C.}$ $-4 \mathrm{e}$
$\text{D.}$ $-\frac{2}{\mathrm{e}}$
已知 $m, n \in \mathbf{R}$, 则 “ $m+n>8$ ” 是“ “ $(m-4)^3+(n-4)^3+m+n>8$ ” 的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}|\ln x|, 0 < x \leqslant 2, \\ |\ln (4-x)|, 2 < x < 4,\end{array}\right.$ 若直线 $y=m$ 与 $f(x)$ 的图象有四个交点, 且从左 到右四个交点的横坐标依次为 $x_1, x_2, x_3, x_4$, 则 $x_1 x_2+x_3 x_4+4\left(x_1+x_2\right)=$
$\text{A.}$ 12
$\text{B.}$ 16
$\text{C.}$ 18
$\text{D.}$ 32
已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$, 且 $f(x)$ 为偶函数, $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=-2$, $3 f(x) \cos x+f^{\prime}(x) \sin x>0$, 则不等式 $f\left(x+\frac{\pi}{2}\right) \cos ^3 x-\frac{1}{4}>0$ 的解集为
$\text{A.}$ $\left(-\frac{\pi}{3},+\infty\right)$
$\text{B.}$ $\left(-\frac{2 \pi}{3},+\infty\right)$
$\text{C.}$ $\left(-\frac{2 \pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{\pi}{3},+\infty\right)$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设集合 $A=\{x \in \mathbf{Z} \mid x=2 \sin \theta, \theta \in \mathbf{R}\}$, 则集合 $A$ 的真子集个数为
请写出一个同时满足下列条件(1)(2)(3)的函数 $f(x)=$ (1) $f(0)=0$; (2)对任意 $x_1, x_2 \in \mathbf{R}$, 当 $x_1 < x_2$ 时, $f\left(x_1\right) < f\left(x_2\right)$; (3) $f(x) < 1$.
已知函数 $f(x), g(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数, $g(3)=2$, 若对任意 $x \in \mathbf{R}$, 都有 $f(x+6)=f(x)+$ $f(3)$, 对任意 $m, n \in \mathbf{R}$ 且 $m+n=4$, 都有 $g(m)=g(n)$, 则 $f(99)+g(99)=$
已知函数 $f(x)=\left|4^x-a\right|+2\left|2^x-a\right|$ 的最小值为 4 , 则实数 $a=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知集合 $M=\left\{x \mid y=\sqrt{2+x-x^2}\right\}, N=\{x|| x-2 a \mid \leqslant 1\}$.
（I ) 若 $M \cap N=[1,2]$, 求 $M \cup N$;
(II) 若 $x \in M$ 是 $x \in N$ 的必要不充分条件,求实数 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\frac{(x+a) \cdot 3^x+x-1}{3^x+1}(a \in \mathbf{R})$ 为奇函数.
(I) 证明: $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上为增函数;
(II) 解关于 $x$ 的不等式 $f\left(x^2+4 x\right)+f(12-11 x) < 0$.
已知函数 $f(x)=\log _2 x-\log _2(4-x), g(x)=\log _2(x+a)$.
(I) 求 $f(x)$ 的定义域, 并证明 $f(x)$ 的图象关于点 $(2,0)$ 对称;
(II) 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=g(x)$ 有两个不同的实数解, 求实数 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=(x-a) \mathrm{e}^x(a \in \mathbf{R})$ 的图象在点 $(1, f(1))$ 处的切线与直线 $x-\mathrm{e} y+1=0$ 垂直.
(I) 求实数 $a$ 的值;
(II) 若不等式 $f(x)+3 \mathrm{e}^x \geqslant m\left(1+\frac{1}{\mathrm{e}^x}\right)+2$ 对任意 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立, 求实数 $m$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=(1-a) \ln x+x+\frac{a}{x}-2(a \in \mathbf{R})$.
(I) 试讨论 $f(x)$ 的单调区间;
(II) 若 $a \leqslant 2$, 讨论 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \mathrm{e}^2\right]$ 上的零点个数.
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-3 x-6$.
(I) 若函数 $g(x)=x f(x)$, 求 $g(x)$ 的极值;
(II) 证明: 不等式 $f(x)+2 \sin x+5 \geqslant 0$ 恒成立.