题号:2672    题型:单选题    来源:皖豫名校联盟 2023 届高中毕业班第一次考试
类型:模拟考试
已知 $m, n \in \mathbf{R}$, 则 “ $m+n > 8$ ” 是“ “ $(m-4)^3+(n-4)^3+m+n > 8$ ” 的
$A.$ 充分不必要条件 $B.$ 必要不充分条件 $C.$ 充要条件 $D.$ 既不充分也不必要条件
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答案:
C

解析:

解析 易知函数 $f(x)=x^3+x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增, 同时由 $f(-x)=-\left(x^3+x\right)=-f(x)$, 知 $f(x)$ 为奇 函数. 当 $m+n > 8$ 时, $m-4 > 4-n$, 则 $f(m-4) > f(4-n)=-f(n-4)$, 即 $f(m-4)+f(n-4) > 0$, 所以 $(m-$ $4)^3+(m-4)+(n-4)^3+(n-4) > 0$, 即 $(m-4)^3+(n-4)^3+m+n > 8$, 所以 “ $m+n > 8$ ” 是“ $(m-4)^3+(n-$ $4)^3+m+n > 8$ ” 的充分条件. 当 $(m-4)^3+(n-4)^3+m+n > 8$ 时, $(m-4)^3+(m-4)+(n-4)^3+(n-4) > $ 0 , 即 $f(m-4)+f(n-4) > 0$, 所以 $f(m-4) > -f(n-4)=f(4-n)$, 所以 $m-4 > 4-n$, 即 $m+n > 8$, 所以 “ $m+$ $n > 8$ ” 是“ $(m-4)^3+(n-4)^3+m+n > 8$ ” 的必要条件.

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