题号:2681    题型:解答题    来源:皖豫名校联盟 2023 届高中毕业班第一次考试
已知函数 $f(x)=\log _2 x-\log _2(4-x), g(x)=\log _2(x+a)$.
(I) 求 $f(x)$ 的定义域, 并证明 $f(x)$ 的图象关于点 $(2,0)$ 对称;
(II) 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=g(x)$ 有两个不同的实数解, 求实数 $a$ 的取值范围.
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答案:
解析 (I) 由 $\left\{\begin{array}{l}x > 0, \\ 4-x > 0\end{array}\right.$ 可得 $0 < x < 4$, 即 $f(x)$ 的定义域为 $(0,4)$. 令 $h(x)=f(x+2)=\log _2(x+2)-\log _2(2-x)$,
由 $\left\{\begin{array}{l}2+x > 0, \\ 2-x > 0\end{array}\right.$ 解得 $-2 < x < 2$, 即 $h(x)$ 的定义域为 $(-2,2)$.
因为 $h(-x)=\log _2(2-x)-\log _2(2+x)=-h(x)$,
所以 $h(x)$ 为奇函数, 所以 $f(x+2)$ 的图象关于原点 $(0,0)$ 对称,
故 $f(x)$ 的图象关于点 $(2,0)$ 对称.
(II) 关于 $x$ 的方程 $f(x)=g(x), x \in(0,4)$,
即 $\log _2 x-\log _2(4-x)=\log _2(a+x), x \in(0,4)$,
所以 $\frac{x}{4-x}=a+x$, 即 $a=\frac{x}{4-x}-x=\frac{4-(4-x)}{4-x}-x=\frac{4}{4-x}+(4-x)-5$,
故关于 $x$ 的方程 $f(x)=g(x)$ 有两个不同的实数解, 转化为 $a=\frac{4}{4-x}+(4-x)-5, x \in(0,4)$ 有两个解, 即$y=a$与 $y=\frac{4}{4-x}+(4-x)-5, x \in(0,4)$ 的图象有两个交点.
设 $t=4-x, t \in(0,4)$, 则 $y=\frac{4}{t}+t-5, t \in(0,4)$,
作出函数 $y=\frac{4}{t}+t-5, t \in(0,4)$ 的大致图象如图所示:

可知当 $-1 < a < 0$ 时, $y=a$ 与 $y=\frac{4}{t}+t-5, t \in(0,4)$ 的图象有两个交点,
即关于 $x$ 的方程 $f(x)=g(x)$ 有两个不同的实数解,
故实数 $a$ 的取值范围是 $(-1,0)$.
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