题号:2682    题型:解答题    来源:皖豫名校联盟 2023 届高中毕业班第一次考试
已知函数 $f(x)=(x-a) \mathrm{e}^x(a \in \mathbf{R})$ 的图象在点 $(1, f(1))$ 处的切线与直线 $x-\mathrm{e} y+1=0$ 垂直.
(I) 求实数 $a$ 的值;
(II) 若不等式 $f(x)+3 \mathrm{e}^x \geqslant m\left(1+\frac{1}{\mathrm{e}^x}\right)+2$ 对任意 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立, 求实数 $m$ 的取值范围.
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 1 次查看 我来讲解
答案:
解析 (I) 由 $f(x)=(x-a) \mathrm{e}^{\mathrm{x}}$, 得 $f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^x+(x-a) \mathrm{e}^x=(x-a+1) \mathrm{e}^x$,
所以 $f(x)$ 的图象在点 $(1, f(1))$ 处的切线斜率为 $f^{\prime}(1)=(2-a) \mathrm{e}$.
因为切线与直线 $x-\mathrm{ey}+1=0$ 垂直, 所以 $(2-a) \mathrm{e}=-\mathrm{e}$, 解得 $a=3$.
(II) 由 ( I ) 知 $f(x)=(x-3) \mathrm{e}^x$, 则 $f(x)+3 \mathrm{e}^x \geqslant m\left(1+\frac{1}{\mathrm{e}^x}\right)+2$ 等价于 $x \mathrm{e}^x \geqslant m\left(1+\frac{1}{\mathrm{e}^x}\right)+2$,
所以由题意知 $m \leqslant \frac{x \mathrm{e}^{2 x}-2 \mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+1}$ 对任意 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立.
令 $g(x)=\frac{x \mathrm{e}^{2 x}-2 \mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+1}$, 则 $g^{\prime}(x)=\frac{\left(2 x \mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^{2 x}-2 \mathrm{e}^x\right)\left(\mathrm{e}^x+1\right)-\left(x \mathrm{e}^{2 x}-2 \mathrm{e}^x\right) \mathrm{e}^x}{\left(\mathrm{e}^x+1\right)^2}=\frac{\mathrm{e}^x\left(\mathrm{e}^x+2\right)\left(x \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^x-1\right)}{\left(\mathrm{e}^x+1\right)^2}$.
令 $h(x)=x \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^x-1$, 易知
当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $x \mathrm{e}^x < 0, \mathrm{e}^x-1 < 0$, 所以 $h(x) < 0, g^{\prime}(x) < 0, g(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减,
当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $x \mathrm{e}^x > 0, \mathrm{e}^x-1 > 0$, 所以 $h(x) > 0, g^{\prime}(x) > 0, g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增,
所以 $g(x)_{\text {min }}=g(0)=-1$, 所以 $m \leqslant-1$,
即实数 $m$ 的取值范围是 $(-\infty,-1]$.
①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭