题号:2680    题型:解答题    来源:皖豫名校联盟 2023 届高中毕业班第一次考试
已知函数 $f(x)=\frac{(x+a) \cdot 3^x+x-1}{3^x+1}(a \in \mathbf{R})$ 为奇函数.
(I) 证明: $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上为增函数;
(II) 解关于 $x$ 的不等式 $f\left(x^2+4 x\right)+f(12-11 x) < 0$.
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答案:
解析 (I) 因为 $f(x)$ 为奇函数, 所以 $f(0)=0$, 即 $a-1=0, a=1$.
所以 $f(x)=\frac{(x+1) \cdot 3^x+x-1}{3^x+1}=x+1-\frac{2}{3^x+1}$.
所以 $f^{\prime}(x)=1+\frac{2 \cdot 3^x \ln 3}{\left(3^x+1\right)^2}$,
则 $f^{\prime}(x) > 0$ 恒成立,
所以 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上为增函数.
(II) 因为 $f(x)$ 为 $\mathbf{R}$ 上的奇函数且为增函数,
所以由 $f\left(x^2+4 x\right)+f(12-11 x) < 0$, 得 $f\left(x^2+4 x\right) < -f(12-11 x)=f(11 x-12)$,
则 $x^2+4 x < 11 x-12$, 即 $x^2-7 x+12 < 0$, 解得 $3 < x < 4$,
故不等式 $f\left(x^2+4 x\right)+f(12-11 x) < 0$ 的解集为 $(3,4)$.

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