单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时, $x-\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \sim c x^k$, 则 $c, k$ 分别是
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}, 3$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}, 2$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}, 2$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}, 3$.
曲线 $f(x)=\int_x^{\sqrt{3}} x \sin t^2 \mathrm{~d} t$ 与直线 $x=0, x=\sqrt{3}, y=0$ 所围平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所形成的 旋转体的体积为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} \pi \sin 3-\pi \cos 3$.
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3} \pi \sin 3-\pi \cos 3$.
$\text{C.}$ $\frac{2}{3} \pi \sin 3-2 \pi \cos 3$.
$\text{D.}$ $-\pi \cos 3-\pi \sin 3$.
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n^4} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n i^2 \sin \frac{\pi j}{2 n}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{5}$.
下列级数中收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left[n \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]^n$.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n})$.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}+(-1)^n}$.
$\text{D.}$ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & -3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -2 & -2 \\ 0 & -4 & 5 & 1 \\ -3 & 9 & -6 & 7\end{array}\right), M_{3 j}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的第 3 行第 $j$ 列元素的余子式 $(j=1,2,3,1)$. 则 $M_{31}+3 M_{32}-2 M_{33}+2 M_{34}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ -3
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵, 将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 列加到第 3 列得矩阵 $\boldsymbol{B}$, 再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 3 行的 $-1$ 倍加到第 2 行得 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & a\end{array}\right)$, 其中 $a$ 为常数, 则 $\boldsymbol{A}$ 的 3 个特征值为
$\text{A.}$ $1,-1,2$.
$\text{B.}$ $1,2,-2$.
$\text{C.}$ $1,2, a$.
$\text{D.}$ $1, a,-a$.
若方程 $a\left(x^2+y^2+z^2\right)+4(x y+y z+z x)=1$ 的图形是双叶双曲面, 则常数 $a$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $a < -4$.
$\text{B.}$ $-4 < a < 2$.
$\text{C.}$ $-2 < a < 4$.
$\text{D.}$ $a < 2$.
设连续型随机变量 $X_1, X_2$ 的概率密度分别为 $f_1(x), f_2(x)$, 其分布函数分别为 $F_1(x), F_2(x)$, 记 $g_1(x)=f_1(x) F_2(x)+f_2(x) F_1(x), g_2(x)=f_1(x) F_1(x)+f_2(x) F_2(x), g_3(x)=\frac{1}{2}\left[f_1(x)+\right.$ $\left.f_2(x)\right], g_4(x)=\sqrt{f_1(x) f_2(x)}$, 则 $g_1(x), g_2(x), g_3(x), g_4(x)$ 这 4 个函数中一定能作为概率密 度的共有
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 2个
$\text{D.}$ 4个
设随机变量 $X, Y$ 相互独立, 且 $X \sim E(a), Y \sim E(b)(a>0, b>0, a \neq b)$, 则服从 $E(a+b)$ 的 随机变量是
$\text{A.}$ $X+Y$.
$\text{B.}$ $X Y$.
$\text{C.}$ $\max \{X, Y\}$.
$\text{D.}$ $\min \{X, Y\}$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, $E(X)$ 与 $D(X)$ 都存在, 且 $\bar{X}=\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i$, 若 $E\left(X_1 \bar{X}\right)=35, D\left(X_1-\bar{X}\right)=90$, 则 $E\left(X^2\right)=$
$\text{A.}$ 100
$\text{B.}$ 125
$\text{C.}$ 150
$\text{D.}$ 175
填空题 （共 12 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=\sqrt[3]{x \sin ^2 x}(-\pi < x < \pi)$, 则 $f^{\prime}(x)=$
设 $f(x)=\int_{-x}^x \frac{\sin (x t)}{t} \mathrm{~d} t, x \neq 0$, 则 $\int x^2 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^n}\right)=$
设 $\Sigma$ 为由曲线 $\left\{\begin{array}{l}3 x^2+2 y^2=33, \\ z=0\end{array}\right.$ 绕 $y$ 轴旋转一周所形成的旋转曲面, $\Pi$ 为曲面 $\Sigma$ 在点 $M(1,3,2)$ 处的切平面, 则坐标原点到平面 $\Pi$ 的距离为
设 $ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
1 & -1 & -1 & -1 \\
-1 & 1 & -1 & -1 \\
-1 & -1 & 1 & -1 \\
-1 & -1 & -1 & 1
\end{array}\right) $ , $f(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{2 n+1}$ ,则 $ f(\boldsymbol{A})=$
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,4)$,随机变量 $Y$ 服从参数 $\lambda=\frac{1}{2}$ 的指数分布, $\operatorname{Cov}(X, Y)=-1$. 令 $Z=X-a Y$, 若 $\operatorname{Cov}(X, Z)=\operatorname{Cov}(Y, Z)$, 则常数 $a$ 的值为
设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^3+x y+x^2-2 x+1=0$ 在点 $(1,0)$ 的某邻域内确定的可微函数, 求 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_1^x y(t) \mathrm{d} t}{(x-1)^3}$.
设 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$, 若 $g(x, y)=\int_0^y f(x t) \mathrm{d} t$ 满足方程
$$
\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}-x y g(x, y)=x y^2 \sin x y,
$$
求 $g(x, y)$.
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{8 n^2+2 n-1}$ 在收敛区间内的和函数.
计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}$, 其中 $\Sigma$ 是曲面 $1-\frac{z}{7}=\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-1)^2}{16}$ $(z \geqslant 0)$ 的上侧.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+2 x_3^2-2 x_1 x_3, g\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_3^2-2 x_1 x_2-2 x_1 x_3$.
(1) 求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$, 使得 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 可用合同变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{C y}$ 化为标准形;
(2) 记 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的矩阵为 $\boldsymbol{B}$, 求正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B C}\right) \boldsymbol{Q}$ 为对角矩阵;
(3) 求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{T}$, 使得在合同变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{T} \boldsymbol{y}$ 下可将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 与 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 同时化 为标准形.
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{array}\right.$ 在给定 $X=x(0 < x < 1)$ 的条件 下,随机变量 $Y$ 在 $(-x, x)$ 上服从均匀分布.
(1) 求 $P\left\{\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2} \mid Y=E(Y)\right\}$;
(2) 判断 $X$ 与 $Y$ 的独立性、相关性,并给出理由;
(3) 令随机变量 $Z=X-Y$, 求 $f_Z(z)$.