2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试（数学一卷）

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2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试（数学一卷）

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 当

x \to 0

时,

x - \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) \sim c x^{k}

, 则

c, k

分别是

A.

\frac{1}{6}, 3

B.

\frac{1}{6}, 2

C.

\frac{1}{3}, 2

D.

\frac{1}{3}, 3

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2. 曲线

f (x) = \int_{x}^{\sqrt{3}} x \sin t^{2} d t

与直线

x = 0, x = \sqrt{3}, y = 0

所围平面图形绕

y

轴旋转一周所形成的旋转体的体积为

A.

\frac{1}{3} π \sin 3 - π \cos 3

B.

- \frac{1}{3} π \sin 3 - π \cos 3

C.

\frac{2}{3} π \sin 3 - 2 π \cos 3

D.

- π \cos 3 - π \sin 3

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lim_{n \to \infty} \frac{π}{2 n^{4}} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} i^{2} \sin \frac{π j}{2 n} =

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{1}{3}

C.

\frac{1}{4}

D.

\frac{1}{5}

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4. 下列级数中收敛的是

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} {[n \ln (1 + \frac{1}{n})]}^{n}

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} (\sqrt[3]{n + 1} - \sqrt[3]{n})

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{n + 1} + (- 1)^{n}}

D.

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}

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5. 设矩阵

A = (\begin{array}{cccc} 1 & - 3 & 1 & - 2 \\ 2 & - 5 & - 2 & - 2 \\ 0 & - 4 & 5 & 1 \\ - 3 & 9 & - 6 & 7 \end{array}), M_{3 j}

是

A

的第 3 行第

j

列元素的余子式

(j = 1, 2, 3, 1)

. 则

M_{31} + 3 M_{32} - 2 M_{33} + 2 M_{34} =

A.

B.

C.

-2

D.

-3

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6. 设

A

是 3 阶矩阵, 将

A

的第 2 列加到第 3 列得矩阵

B

, 再将

B

的第 3 行的

- 1

倍加到第 2 行得

(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & a \end{array})

, 其中

a

为常数, 则

A

的 3 个特征值为

A.

1, - 1, 2

B.

1, 2, - 2

C.

1, 2, a

D.

1, a, - a

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7. 若方程

a (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + 4 (x y + y z + z x) = 1

的图形是双叶双曲面, 则常数

a

的取值范围为

A.

a < - 4

B.

- 4 < a < 2

C.

- 2 < a < 4

D.

a < 2

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8. 设连续型随机变量

X_{1}, X_{2}

的概率密度分别为

f_{1} (x), f_{2} (x)

, 其分布函数分别为

F_{1} (x), F_{2} (x)

, 记

g_{1} (x) = f_{1} (x) F_{2} (x) + f_{2} (x) F_{1} (x), g_{2} (x) = f_{1} (x) F_{1} (x) + f_{2} (x) F_{2} (x), g_{3} (x) = \frac{1}{2} [f_{1} (x) +

f_{2} (x)], g_{4} (x) = \sqrt{f_{1} (x) f_{2} (x)}

, 则

g_{1} (x), g_{2} (x), g_{3} (x), g_{4} (x)

这 4 个函数中一定能作为概率密度的共有

A.

1个

B.

2个

C.

2个

D.

4个

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9. 设随机变量

X, Y

相互独立, 且

X \sim E (a), Y \sim E (b) (a > 0, b > 0, a \neq b)

, 则服从

E (a + b)

的随机变量是

A.

X + Y

B.

X Y

C.

max {X, Y}

D.

min {X, Y}

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10. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{10}

为来自总体

X

的简单随机样本,

E (X)

与

D (X)

都存在, 且

\bar{X} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} X_{i}

, 若

E (X_{1} \bar{X}) = 35, D (X_{1} - \bar{X}) = 90

, 则

E (X^{2}) =

A.

100

B.

125

C.

150

D.

175

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二、填空题（共 12 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 设

f (x) = \sqrt[3]{x \sin^{2} x} (- π < x < π)

, 则

f^{'} (x) =

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12. 设

f (x) = \int_{- x}^{x} \frac{\sin (x t)}{t} d t, x \neq 0

, 则

\int x^{2} f^{'} (x) d x =

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13.

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} + \frac{3}{2^{2}} + \frac{5}{2^{3}} + \dots + \frac{2 n - 1}{2^{n}}) =

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14. 设

Σ

为由曲线

{\begin{cases} 3 x^{2} + 2 y^{2} = 33, \\ z = 0 \end{cases}

绕

y

轴旋转一周所形成的旋转曲面,

Π

为曲面

Σ

在点

M (1, 3, 2)

处的切平面, 则坐标原点到平面

Π

的距离为

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15. 设

A = (\begin{array}{cccc} 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{array})

f (x) = 1 + x + x^{2} + \dots + x^{2 n + 1}

,则

f (A) =

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16. 设随机变量

X

服从正态分布

N (0, 4)

,随机变量

Y

服从参数

λ = \frac{1}{2}

的指数分布,

Cov (X, Y) = - 1

. 令

Z = X - a Y

, 若

Cov (X, Z) = Cov (Y, Z)

, 则常数

a

的值为

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17. 设

y = y (x)

是由方程

y^{3} + x y + x^{2} - 2 x + 1 = 0

在点

(1, 0)

的某邻域内确定的可微函数, 求

lim_{x \to 1} \frac{\int_{1}^{x} y (t) d t}{(x - 1)^{3}}

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18. 设

f (x)

二阶可导, 且

f (0) = 0, f^{'} (0) = 0

, 若

g (x, y) = \int_{0}^{y} f (x t) d t

满足方程

\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y} - x y g (x, y) = x y^{2} \sin x y,

求

g (x, y)

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19. 求级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{8 n^{2} + 2 n - 1}

在收敛区间内的和函数.

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20. 计算曲面积分

I = \iint_{Σ} \frac{x d y d z + y d z d x + z d x d y}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}

, 其中

Σ

是曲面

1 - \frac{z}{7} = \frac{(x - 2)^{2}}{25} + \frac{(y - 1)^{2}}{16}

(z ⩾ 0)

的上侧.

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21. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 x_{3}^{2} - 2 x_{1} x_{3}, g (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 2 x_{3}^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 2 x_{1} x_{3}

.
(1) 求一个可逆矩阵

C

, 使得

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

可用合同变换

x = C y

化为标准形;
(2) 记

g (x_{1}, x_{2}, x_{3})

的矩阵为

B

, 求正交矩阵

Q

, 使得

Q^{T} (C^{T} B C) Q

为对角矩阵;
(3) 求一个可逆矩阵

T

, 使得在合同变换

x = T y

下可将

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

与

g (x_{1}, x_{2}, x_{3})

同时化为标准形.

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22. 设随机变量

X

的概率密度为

f_{X} (x) = {\begin{cases} 2 x, & 0 < x < 1, \\ 0, & 其他, \end{cases}

在给定

X = x (0 < x < 1)

的条件下,随机变量

Y

在

(- x, x)

上服从均匀分布.
(1) 求

P {\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2} ∣ Y = E (Y)}

;
(2) 判断

X

与

Y

的独立性、相关性,并给出理由;
(3) 令随机变量

Z = X - Y

, 求

f_{Z} (z)

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