题号:2639    题型:填空题    来源:2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试(数学一卷)
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+2 x_3^2-2 x_1 x_3, g\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_3^2-2 x_1 x_2-2 x_1 x_3$.
(1) 求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$, 使得 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 可用合同变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{C y}$ 化为标准形;
(2) 记 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的矩阵为 $\boldsymbol{B}$, 求正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B C}\right) \boldsymbol{Q}$ 为对角矩阵;
(3) 求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{T}$, 使得在合同变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{T} \boldsymbol{y}$ 下可将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 与 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 同时化 为标准形.
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答案:
(1) 二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_3\right)^2+x_2^2+x_3^2$, 令 $y_1=x_1-x_3, y_2=x_2, y_3=x_3$, 即 $x_1=$ $y_1+y_3, x_2=y_2, x_3=y_3$, 则 $f=y_1^2+y_2^2+y_3^2$.
将上述变换用矩阵表示为 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{C y}$, 即
$$
\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{array}\right),
$$
显然, $\boldsymbol{C}$ 是可逆矩阵, 所以合同变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{C} \boldsymbol{y}$ 可将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准形 $f=y_1^2+y_2^2+y_3^2$. 进一步, 若记 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的矩阵为 $\boldsymbol{A}$, 则 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{E}$.

(2) 直接计算, 得 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right)$. 易知 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}$ 的特征值为 $1,2,-1$, 对应的特征向量分别为 $(1,0,-1)^{\mathrm{T}},(1,-1,1)^{\mathrm{T}},(1,2,1)^{\mathrm{T}}$. 将它们单位 化后记为 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$. 最后, 取正交矩阵 $Q=\left(\xi_1, \xi_2, \xi_3\right)$, 则
$$
\boldsymbol{Q}=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
0 & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \\
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}
\end{array}\right), \boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B C}\right) \boldsymbol{Q}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{array}\right)
$$
果, 令 $\boldsymbol{T}=\boldsymbol{C} Q=\left(\begin{array}{ccc}0 & \frac{2}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ 0 & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{T}$ 是可逆矩阵, 且 $\boldsymbol{T}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{T}=\boldsymbol{E}, \boldsymbol{T}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{T}=$
$\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$, 即合同变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{T} \boldsymbol{y}$ 可将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 与 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 同时化为标准形 $f=y_1^2+y_2^2+$ $y_3^2, g=y_1^2+2 y_2^2-y_3^2$.
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