单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $y=f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$, $\Delta x$ 为自变量 $x$ 在 $x_0$ 处的增量， $\Delta y$ 与 $\mathrm{d} y$ 分别为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处对应的增量与微分，若 $\Delta x>0$ ，则
$\text{A.}$ $0 < \mathrm{d} y < \Delta y$
$\text{B.}$ $0 < \Delta y < \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\Delta y < \mathrm{d} y < 0$
$\text{D.}$ $\mathrm{d} y < \Delta y < 0$
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(h^2\right)}{h^2}=1$ ，则
$\text{A.}$ $f(0)=0$ 且 $f_{-}^{\prime}(0)$ 存在
$\text{B.}$ $f(0)=1$ 且 $f_{-}^{\prime}(0)$ 存在
$\text{C.}$ $f(0)=0$ 且 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在
$\text{D.}$ $f(0)=1$ 且 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在
设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(x) \leq g(x)$ ，则对任何 $c \in(0,1)$ ，有
$\text{A.}$ $\int_{\frac{1}{2}}^c f(t) \mathrm{d} t \geq \int_{\frac{1}{2}}^c g(t) \mathrm{d} t$
$\text{B.}$ $\int_{\frac{1}{2}}^c f(t) \mathrm{d} t \leq \int_{\frac{1}{2}}^c g(t) \mathrm{d} t$
$\text{C.}$ $\int_c^1 f(t) \mathrm{d} t \geq \int_c^1 g(t) \mathrm{d} t$
$\text{D.}$ $\int_c^1 f(t) \mathrm{d} t \leq \int_c^1 g(t) \mathrm{d} t$
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则级数
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|$ 收敛.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$ 收敛.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n a_{n+1}$ 收敛.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n+a_{n+1}}{2}$ 收敛.
设非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+P(x) y=Q(x)$ 有两个不同的解 $y_1(x), y_2(x), C$ 为任意常数，则该方程的通解是
$\text{A.}$ $C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$
$\text{B.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$
$\text{C.}$ $C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$
$\text{D.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$
设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\varphi_y^{\prime}(x, y) \neq 0$ ，已知 $\left(x_0, y_0\right)$ 是 $f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$
$\text{B.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$
$\text{C.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$
设 $a_1, a_2, \cdots, a_s$ 均为 $n$ 维列向量， $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，下列选项正确的是( )
(A) 若 $a_1, a_2, \cdots, a_s$ 线性相关，则 $A a_1, A a_2, \cdots, A a_s$ 线性相关
(B) 若 $a_1, a_2, \cdots, a_s$ 线性相关，则 $A a_1, A a_2, \cdots, A a_s$ 线性无关
(C) 若 $a_1, a_2, \cdots, a_s$ 线性无关，则 $A a_1, A a_2, \cdots, A a_s$ 线性相关
(D) 若 $a_1, a_2, \cdots, a_s$ 线性无关，则 $A a_1, A a_2, \cdots, A a_s$ 线性无关
15、设 $A$ 为三阶矩阵，将 $A$ 的第 2 行加到第 1 行得 $B$ ，再将 $B$
的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得 $C$ ，记 $P=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，
则
$\text{A.}$ $C=P^{-1} A P$
$\text{B.}$ $C=P A P^{-1}$
$\text{C.}$ $C=P^T A P$
$\text{D.}$ $C=P A P^T$
设 $A$ 为三阶矩阵，将 $A$ 的第 2 行加到第 1 行得 $B$ ，再将 $B$的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得 $C$ ，记 $P=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则
$\text{A.}$ $C=P^{-1} A P$
$\text{B.}$ $C=P A P^{-1}$
$\text{C.}$ $C=P^T A P$
$\text{D.}$ $C=P A P^T$
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right) ， Y$ 服从正态分布 $N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$ ，且 $P\left\{\left|X-\mu_1\right| < 1\right\}>P\left\{\left|Y-\mu_2\right| < 1\right\}$ ，则必有
$\text{A.}$ $\sigma_1 < \sigma_2$
$\text{B.}$ $\sigma_1>\sigma_2$
$\text{C.}$ $\mu_1 < \mu_2$
$\text{D.}$ $\mu_1>\mu_2$
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{(-1)^n}=$
设函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 的某邻域内可导,且 $f^{\prime}(x)=e^{f(x)}$, $f(2)=1$, 则 $f^{\prime \prime \prime}(2)=$
设函数 $f(u)$ 可微，且 $f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，则 $z=f\left(4 x^2-y^2\right)$ 在点 $(1,2)$ 处的全微分 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1,2)}=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right) ， E$ 为二阶单位矩阵，矩阵 $B$ 满足 $B A=B+2 E$ ，则 $|B|=$
已知 $\alpha_1, \alpha_2$ 为 2 维列向量，矩阵 $A=\left(2 \alpha_1+\alpha_2, \alpha_1-\alpha_2\right)$, $B=\left(\alpha_1, \alpha_2\right)$. 若行列式 $|A|=6$ ，则 $|B|=$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 相互独立，且均服从区间 $[0,3]$ 上的均匀分布，则 $P\{\max \{X, Y\} \leq 1\}=$
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\frac{1}{2} e^{-|x|}(-\infty < x < +\infty)$, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为总体 $X$ 的简单随机样本，其样本方差为 $S^2$ ，则 $E\left(S^2\right)=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x, y)=\frac{y}{1+x y}-\frac{1-y \sin \frac{\pi x}{y}}{\arctan x}, x>0, y>0$, 求:
( I ) $g(x)=\lim _{y \rightarrow+\infty} f(x, y)$ ；
(ㅍ) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} g(x)$.
计算二重积分 $\iint_D \sqrt{y^2-x y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=x, y=1, x=0$ 所围成的平面区域.
证明: 当 $0 < a < b < \pi$ 时 $b \sin b+2 \cos b+\pi b>a \sin a+2 \cos a+\pi a$.
在 $x O y$ 坐标平面上，连续曲线 $L$ 过点 $M(1,0)$ ，其上任意点 $P(x, y)(x \neq 0)$ 处的切线斜率与直线 $O P$ 的斜率之差等于 $a x$ （常数 $a>0$ ).
(I) 求 $L$ 的方程;
(ㅍ) 当 $L$ 与直线 $y=a x$ 所围成平面图形的面积为 $8 / 3$ 时，确定 $a$ 的值.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n+1}}{n(2 n-1)}$ 的收敛域及和函数 $s(x)$.
设 4 维向量组 $\alpha_1=(1+a, 1,1,1)^T, \alpha_2=(2,2+a, 2,2)^T$, $\alpha_3=(3,3,3+a, 3)^T, \alpha_4=(4,4,4,4+a)^T$ ，问 $a$ 为何值时 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关? 当 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的各行元素之和均为 3 ,向量
$$
\alpha_1=(-1,2,-1)^T, \alpha_2=(0,-1,1)^T
$$
是线性方程组 $A x=0$ 的两个解,
(I) 求 $A$ 的特征值与特征向量
(II) 求正交矩阵 $Q$ 和对角矩阵 $\Lambda$, 使得 $Q^T A Q=\Lambda$.
(III) 求 $A$ 及 $\left(A-\frac{3}{E} E\right)^6$ ，其中 $E$ 为三阶单位矩阵.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布为
其 中 $a, b, c$ 为常数，且 $X$ 的数学期望为 $E X=-0.2, P\{Y \leq 0 \mid X \leq 0\}=0.5$ ，记 $Z=X+Y$ ，求:
(1) $a, b, c$ 的值;
(2) $Z$ 的概率分布;
(3) $P\{X=Z\}$.
随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f_X(x)=\left\{\begin{array}{l}
1 / 2,-1 < x < 0 \\
1 / 4,0 \leq x < 2 \\
0 \quad, \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
令 $Y=X^2 ， F(x, y)$ 为二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数.
(1) 求 $Y$ 的概率密度 $f_Y(y)$ ；
(2) $\operatorname{Cov}(X, Y)$;
(3) $F\left(-\frac{1}{2}, 4\right)$.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{lc}
\theta, & 0 < x < 1 \\
1-\theta, 1 \leq x < 2 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta$ 是未知参数 $(0 < \theta < 1) ， X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，记 $N$ 为样本值 $x_1, x_2 \ldots, x_n$ 中小于 1 的个数，求:
(1) $\boldsymbol{\theta}$ 的矩估计；
(2) $\theta$ 的最大似然估计.