单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\left\{x \mid x^2-2 x-3 \geqslant 0\right\}, B=\left\{x \left\lvert\, \ln x \geqslant \frac{1}{2}\right.\right\}$ ，则 $A \cup B=$
$\text{A.}$ $[3,+\infty)$
$\text{B.}$ $(-\infty,-1] \cup[\sqrt{e},+\infty)$
$\text{C.}$ $(-\infty,-1] \cup[3,+\infty)$
$\text{D.}$ $[-1, \sqrt{\mathrm{e}}]$
已知复数 $z$ 满足 $2 z+1=(3-z) \mathrm{i}$ ，则 $z \cdot \bar{z}=$
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\sqrt{2}$
已知 $a>0, b>0, \sqrt{a b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ ，则 $\frac{1}{\log _a 2}+\frac{1}{\log _b 2}$ 的最小值为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ 1
已知点 $G$ 为 $\triangle A B C$ 的重心，若 $\overrightarrow{B G}=\lambda \overrightarrow{B C}+\mu \overrightarrow{A G}$ ，则 $\lambda-\mu=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ 3
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且满足 $a_1=-5, a_n=\frac{S_n}{n}+2(n-1)$ ，若对任意 $n \in \mathbf{N}^*$ ， $\lambda \leqslant S_n$ 恒成立，则实数 $\lambda$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(-\infty,-6]$
$\text{B.}$ $(-\infty,-5]$
$\text{C.}$ $(-\infty,-3]$
$\text{D.}$ $(-\infty,-2]$
图 1 是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图 2 中，一个半径为 2 m 的筒车按逆时针方向每分钟转 1.5 圈，筒车的轴心 $O$ 距水面的高度为 $\sqrt{3} \mathrm{~m}$ ．设简车上的某个盛水桶 $P$（看作点）到水面的距离为 $d$ （单位：$m$ ）（若在水面下则 $d$ 为负数），若以盛水桶 $P$ 刚浮出水面时开始计时，$d$ 与时间 $t$ （单位：s）之间的关系为 $d=A \sin (\omega t+\varphi)+K\left(A>0, \omega>0,-\frac{\pi}{2} < \varphi < \frac{\pi}{2}\right)$ ，则 $\varphi=$
$\text{A.}$ $-\frac{\pi}{3}$
$\text{B.}$ $-\frac{\pi}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{3}$
已知双曲线 $C: x^2-\frac{y^2}{m^2}=1(m>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$ ，过点 $F_1$ 作圆 $O: x^2+y^2=1$的切线，交双曲线 $C$ 的右支于点 $M$ ，若 $\angle F_1 M F_2=\frac{\pi}{3}$ ，则实数 $m=$
$\text{A.}$ $2+\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $1+\sqrt{3}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $1+\frac{\sqrt{3}}{3}$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^x(2 x-1), x>0, \\ k(x+1), x < 0,\end{array} g(x)=f(x)+f(-x)\right.$ ，若 $y=g(x)$ 恰有 4 个零点，则实数 $k$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(-\infty, 1)$
$\text{B.}$ $\left(4 \mathrm{e}^{\frac{1}{2}},+\infty\right)$
$\text{C.}$ $\left(1,4 \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}\right)$
$\text{D.}$ $(1,+\infty)$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知一组数据 $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$ 的平均数为 $x(\bar{x} \neq 0)$ ，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据 $x_1+\bar{x}, x_2+\bar{x}, x_3+\bar{x}, \cdots, x_n+\bar{x}$ ，则新数据与原数据相比
$\text{A.}$ 极差相同
$\text{B.}$ 平均数不同
$\text{C.}$ 方差不同
$\text{D.}$ 中位数相同
已知函数 $f(x)=\sin \pi x, g(x)=x-\frac{1}{x}-\ln x, h(x)=f(x) \cdot g(x)$ ，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $g\left(\frac{1}{x}\right)+g(x)=0$
$\text{B.}$ 不等式 $g(x)>0$ 的解集为 $(0,1)$
$\text{C.}$ $h\left(\frac{16}{3}\right) < h\left(\frac{3}{11}\right)$
$\text{D.}$ 1 为函数 $h(x)$ 的极大值点
已知正四棱锥 $P-A B C D$ 的底面边长为 1 ，高为 $h$ ，该正四棱锥的顶点 $P$ 在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的内部（包括表面），则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $h$ 的取值范围是 $(0,1]$
$\text{B.}$ 若正四棱锥 $P-A B C D$ 的侧棱长为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $h=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ 当点 $P$ 为正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的上底面 $A_1 B_1 C_1 D_1$ 的中心时，正四棱锥 $P-A B C D$ 外接球的表面积为 $\frac{9 \pi}{4}$
$\text{D.}$ 当点 $P$ 为正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的内切球球心时，正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的内切球与正四棱锥 $P-A B C D$ 的公共部分的体积为 $\frac{\pi}{36}$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\left(x+\frac{2}{x}\right)^n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ 的展开式中，第 6 项系数与第 7 项系数之比为 $3!1$ ，则 $n$ 的值为
已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 1 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $M, N$两点，则 $\frac{||F M|-|F N||}{|M N|}$ 的值为
已知 $\alpha, \beta \in \mathbf{R},(\sin \alpha-|\sin \beta|) \cdot(\cos \beta-|\cos \alpha|)=0$ ，则 $\sin \alpha+\cos \beta-2$ 的最小值为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $\cos ^2 \frac{A}{2}=\frac{b+c}{2 c}$ ．
（1）求角 $C$ 的大小；
（2）若点 $D$ 在边 $A B$ 上，且满足 $A B=3 A D$ ，求 $\frac{\tan A}{\tan \angle A C D}$ 的值．
（1） 1 个质点在数轴上运动，每次向左或向右移动 1 个单位长度（相对于原点 $O$ ，质点向右移动了 $i(i \in \mathbf{N})$ 个单位长度后位置记为 $i$ ，向左移动了 $i(i \in \mathbf{N})$ 个单位长度后位置记为 $-i$ ）．已知质点每次向右移动的概率为 $p(0 < p < 1)$ ．记 $X$ 为质点从原点 $O$ 出发，移动 2 次后的位置，求满足随机变量 $X$ 的期望大于 0 的 $p$ 的取值范围；
（2） 1 个质点从平面直角坐标系中某点 $A$ 出发，每次等可能地向上或向下或向左或向右移动 1 个单位长度，求该质点经过 4 次移动后回到点 $A$ 的概率．
如图，在斜三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$\angle B A C=90^{\circ}, A B=A C, \angle A_1 A B=\angle A_1 A C$ ，$O$ 是 $B C$ 的中点．
（1）求证：平面 $B C C_1 B_1 \perp$ 平面 $A_1 A O$ ；
（2）若 $A_1 O \perp$ 底面 $A B C$ ，且直线 $A A_1$ 与底面 $A B C$ 所成角为 $60^{\circ}, D$ 是棱 $B B_1$ 的中点，求平面 $A C_1 D$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值．
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1(-2,0), F_2(2,0)$ ，且椭圆 $C$过点 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ，椭圆的下顶点为 $E$ ．
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）过右焦点 $F_2$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的上方），与 $y$ 轴交于点 $P$（点 $P$ 在点 $E$ 的下方），$Q$ 为点 $P$ 关于原点的对称点，$Q B$ 交 $x$ 轴于点 $R$ ，设 $\triangle P B Q, \triangle B F_2 Q, \triangle A F_2 Q$ 的面积分别为 $S_1, S_2, S_3$ ．
（1）若直线 $l$ 的斜率为 2 ，求 $\frac{S_1+S_3}{S_2+S_3}$ 的值；
（2）是否存在直线 $l$ ，使 $Q, R, F_2, A$ 四点共圆？若存在，试判断直线 $l$ 的条数；若不存在，请说明理由。
约輸•卡尔•弗里德里希•高斯，德国著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有＂数学王子＂之称．函数 $y=[x]$ 称为高斯函数，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，如 $[1.2]=1,[-1.3]=-2$ ．已知函数 $f(x)=\frac{2 \cos x}{x}$ ．
（1）当 $x=4$ 和 $x=5$ 时，求 $[f(x)]$ 的值；
（2）设 $g(x)=\sqrt{x+45}-\sqrt{x+5}, x_1=5, x_{n+1}=g\left(x_n\right), n \in \mathbf{N}^*$ ．
① 求 $\sum_{i=1}^n\left[f\left(x_i\right)\right]$ 的表达式；$(g(5)>3.9, g(3.9) < 4.1, g(4.1)>3.9)$
② 求 $\left[\sum_{i=1}^n x_i\right]$ 的表达式．