已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1(-2,0), F_2(2,0)$ ，且椭圆 $C$过点 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ，椭圆的下顶点为 $E$ ．
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）过右焦点 $F_2$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的上方），与 $y$ 轴交于点 $P$（点 $P$ 在点 $E$ 的下方），$Q$ 为点 $P$ 关于原点的对称点，$Q B$ 交 $x$ 轴于点 $R$ ，设 $\triangle P B Q, \triangle B F_2 Q, \triangle A F_2 Q$ 的面积分别为 $S_1, S_2, S_3$ ．
（1）若直线 $l$ 的斜率为 2 ，求 $\frac{S_1+S_3}{S_2+S_3}$ 的值；
（2）是否存在直线 $l$ ，使 $Q, R, F_2, A$ 四点共圆？若存在，试判断直线 $l$ 的条数；若不存在，请说明理由。
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）过右焦点 $F_2$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的上方），与 $y$ 轴交于点 $P$（点 $P$ 在点 $E$ 的下方），$Q$ 为点 $P$ 关于原点的对称点，$Q B$ 交 $x$ 轴于点 $R$ ，设 $\triangle P B Q, \triangle B F_2 Q, \triangle A F_2 Q$ 的面积分别为 $S_1, S_2, S_3$ ．
（1）若直线 $l$ 的斜率为 2 ，求 $\frac{S_1+S_3}{S_2+S_3}$ 的值；
（2）是否存在直线 $l$ ，使 $Q, R, F_2, A$ 四点共圆？若存在，试判断直线 $l$ 的条数；若不存在，请说明理由。