已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^x(2 x-1), x>0, \\ k(x+1), x < 0,\end{array} g(x)=f(x)+f(-x)\right.$ ，若 $y=g(x)$ 恰有 4 个零点，则实数 $k$ 的取值范围是
A
$(-\infty, 1)$
B
$\left(4 \mathrm{e}^{\frac{1}{2}},+\infty\right)$
C
$\left(1,4 \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}\right)$
D
$(1,+\infty)$
E
F