单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知全集 $U=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ ，集合 $A=\{1,3,5,7\}, B=\{2,3,4\}$ ，则 $\left(C_U A\right) \cup B=$
$\text{A.}$ $\{2,4\}$
$\text{B.}$ $\{2,3,6\}$
$\text{C.}$ $\{2,3,4,6\}$
$\text{D.}$ $\{2,3,4,6,7\}$
直线 $l: 2 x-y+7=0$ 被圆 $M:(x-1)^2+(y-4)^2=10$ 截得的弦的长度为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\sqrt{5}$
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ $2 \sqrt{5}$
函数 $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+\cos \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$ 是
$\text{A.}$ 奇函数，且有最大值 $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ 偶函数，且有最大值 $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ 奇函数，且有最大值 2
$\text{D.}$ 偶函数，且有最大值 2
2025年8月27日，中国艺术体操队在艺术体操世铂赛收获 1 金 1 铜。如图，艺术体操的俋操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可香作是由抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 绕其顶点分别逆时针旋转 $\frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3 \pi}{2}$ 后得到的三条曲线与 $C$ 组合而成的图形，其中，$A, B, D, E$ 分别是这四条曲线两两相交的交点，且四边形 $A B D E$ 的周长为 64 ，则 $p=$
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 2
已知递增的等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 満足 $a_0+a_8=10, a_3 a_{11}=9$ ，则 $\left\{a_n\right\}$ 的公比 $q=$
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
如图，施工队计划在一座大山中拕通一条隧道，需要砳定隧道 $A B$ 的长度，工程人员测得隧道两端的 $A, B$ 两点到 $C$ 点的距离分别为 $A C=5 \mathrm{~km}, B C=8 \mathrm{~km}$ ，且 $\cos \angle A C B=\frac{3}{4}$ ，则隧道 $A B$ 的长度为
$\text{A.}$ $3 \sqrt{3} \mathrm{~km}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{6} \mathrm{~km}$
$\text{C.}$ $4 \sqrt{3} \mathrm{~km}$
$\text{D.}$ $\sqrt{29} \mathrm{~km}$
在平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$A B=A D=A A_1=1, \angle B A D=\angle B A A_1=\angle D A A_1$ ，且 $\frac{\pi}{6} < \angle B A D < \frac{\pi}{2}$ ，则 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A C}_1$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $(2,2+2 \sqrt{3})$
$\text{B.}$ $(2,2+\sqrt{3})$
$\text{C.}$ $(2,3)$
$\text{D.}$ $(2,4)$
已知 $A$ 是 $y$ 轴正半轴上一点，点 $B(2,0)$ ，若圆 $C: x^2+y^2-4 x-4 y+7=0$ 上存在点 $P$ ，使得 $\angle A B P=90^{\circ}$ ，则点 $A$ 的纵坐标的取值范围为
$\text{A.}$ $(0,1]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty\right)$
$\text{C.}$ $(0, \sqrt{3}]$
$\text{D.}$ $\left(0, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知双曲线 $C_1: \frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1(m>0, n>0)$ 与双曲线 $C_2: \frac{y^2}{n^2}-\frac{x^2}{m^2}=1$ ，则
$\text{A.}$ $C_1$ 的实轴长等于 $C_2$ 的虚轴长
$\text{B.}$ $C_1$ 的虚轴长等于 $C_2$ 的实轴长
$\text{C.}$ $C_1$ 的离心率等于 $C_2$ 的离心率
$\text{D.}$ $C_1$ 的焦距等于 $C_2$ 的焦距
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，公差 $d \neq 0$ ，若存在正整数 $m, k(m \neq k)$ ，使得 $S_m=S_k$ ，则
$\text{A.}$ $S_{m+k}=0$
$\text{B.}$ 当 $n < m+k$ 时，$S_n=S_{m+k-n}$
$\text{C.}$ $S_n$ 存在最小值
$\text{D.}$ 当 $m+k$ 为偶数时，$a_{\frac{m+k}{2}}=0$
如图，在棱长为 6 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$E, F$ 分别是棱 $C C_1, C_1 D_1$ 的中点，$H$ 是棱 $B B_1$ 上的动点，则
$\text{A.}$ $B_1 D \perp E F$
$\text{B.}$ 异面直线 $A F$ 与 $B E$ 所成角的余弦值是 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
$\text{C.}$ $A H+H E$ 的最小值是 $3 \sqrt{13}$
$\text{D.}$ 正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 被平面 $A E F$ 截得的五边形的周长为$6 \sqrt{13}+3 \sqrt{2}$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$-\mathrm{i}(7-3 \mathrm{i})$ 的虚部为
甲、乙、丙三名毕业生到 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 三个公司实习，假设每名毕业生都要去实习，且到 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 三个公司实习的概率相等，则恰有两名毕业生到 A公司实习的概率是
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}^n=a_n^{n+1}, a_1=\frac{1}{2}$ ，则 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=$ $\_\_\_\_$ ．若对任意的 $n \in \mathbf{N}_{+}$，关于 $n$ 的不等式 $\left[t-(-1)^n a_n\right]\left[t+(-1)^n a_{n+3}\right]>0$ 恒成立，则 $t$ 的取值范围为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知公差不为 0 的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项为 3 ，等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前三项为 $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_3}, \frac{1}{a_9}$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\left\{a_n+b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，证明：$T_{10} < \frac{331}{2}$ ．
如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是梯形；$A D / / B C, A D=2 B C, A B \perp A D, B C \perp P B, P A=A B=B C, P C=\sqrt{3} A B, E$ 是棱 $P D$ 的中点．
（1）证明：$P A \perp$ 平面 $A B C D$ ．
（2）求二面角 $P-A C-E$ 的正弦值．
已知动点 $M$ 到点 $(1,0)$ 的距离比 $M$ 到直线 $x=-5$ 的距离小 4 ，设 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ．
（1）求 $C$ 的标准方程；
（2）若点 $P$ 的坐标为 $(5,0)$ ，求 $|M P|$ 的最小值；
（3）若过点 $(1,0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 $Q(6,-1)$ ，且 $\angle A B Q=\angle B A Q$ ，判断 $l$ 的条数，并说明理由．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_1=2, a_2=3$ ，且 $S_n-3 S_{n-1}+2 S_{n-2}+1=0(n \geqslant 3)$ ．
（1）求 $a_3$ ；
（2）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（3）求数列 $\left\{\frac{3 a_n-1}{a_{n+1} a_n} \sin \left(n \pi+\frac{\pi}{2}\right)\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $P(2,1)$ 在椭圆 $C$ 上．
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程．
（2）过点 $Q(4,-2)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$（异于点 $P$ ）两点，分别记直线 $P A, P B$ 的斜率为 $k_1, k_2$ ．
① 当直线 $l$ 的斜率为 -1 时，求 $\triangle P A B$ 的面积；
② 求 $4\left|k_1\right|+\left|k_2\right|$ 的最小值．