已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_1=2, a_2=3$ ，且 $S_n-3 S_{n-1}+2 S_{n-2}+1=0(n \geqslant 3)$ ．
（1）求 $a_3$ ；
（2）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（3）求数列 $\left\{\frac{3 a_n-1}{a_{n+1} a_n} \sin \left(n \pi+\frac{\pi}{2}\right)\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．