单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知全集为 $R$ ，且集合 $A=\left\{x \mid \log _2(x+1) < 2\right\}, B=\left\{x \left\lvert\, \frac{x-2}{x-1} \geq 0\right.\right\}$ ，则 $A \cap\left( x _{ k } B\right)_{\text {等于（ ）}}$
$\text{A.}$ $(-1,1)$
$\text{B.}$ $(-1,1]$
$\text{C.}$ $[1,2)$
$\text{D.}$ $[1,2]$
复数 $z$ 满足 $z i=2 z-1$ ，则在复平面内，复数 $z$ 对应的点位于
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
命题＂$\forall x \in[1,2], x^2-a \leq 0$＂为真命题的一个充分不必要条件是
$\text{A.}$ $a \geq 4$
$\text{B.}$ $a \leq 4$
$\text{C.}$ $a>4$
$\text{D.}$ $a < 4$
定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(1-x)=f(x+1)$ ，且 $y=f(2 x+2)$ 为奇函数．当 $x \in(0,1]$ 时， $f(x)=\frac{2 x}{x+1}$ ，则 $f(2025)=()$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ 2
已知 $\cos (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta, \tan \alpha \tan \beta=-2$ ，则 $\tan (\alpha+\beta)=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{7}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{7}{9}$
$\text{D.}$ $-\frac{7}{9}$
已知焦点在 $y$ 轴上的双曲线 $\frac{x^2}{3 m}-\frac{y^2}{4-m^2}=1$ 的两条渐近线互相垂直，则 $m=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ -4
$\text{D.}$ 1 或 -4
如图，在 $\triangle A B C$ 中，$P C=2 B P$ ，过点 $P$ 的直线分别交直线 $A B, A C$ 于不同的两点 $M, N$ ．设 $A B= m A M, A C=n A N$ ，则 $\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$ 的最小值为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{7}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{8}{3}$
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为 1 ，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{10}}{10}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
将函数 $g(x)=2_{\sin }\left(8 x-\frac{\pi}{4}\right)$ 图象上每个点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 $f(x)$ 的图象，则（ ）
$\text{A.}$ $f\left(\frac{13 \pi}{24}\right)=1$
$\text{B.}$ $f(x)$ 的最小正周期为 $\frac{\pi}{16}$
$\text{C.}$ $f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{\pi}{8}, 0\right)$ 对称
$\text{D.}$ $f(x)$ 的图象关于直线 $x=-\frac{\pi}{8}$ 对称
已知抛物线 $C: y^2=8 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，$D$ 是 $C$ 的准线与 $x$ 轴的交点，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 若 $|B F|=4|A F|$ ，则直线 $l$ 的斜率为 $\pm \frac{4}{3}$
$\text{B.}$ $|A F|+9|B F| \geq 32$
$\text{C.}$ $0^{\circ} < \angle A O B < 90^{\circ}(O$ 为坐标原点 $)$
$\text{D.}$ 当 $\frac{|A F|}{|A D|}$ 取最小值时，$|A F|=4$
设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，且 $P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{11}{24}, P(\bar{A} B+A \bar{B})=\frac{7}{24}$ ，则下列结论中正确的是（ ）
$\text{A.}$ $P(\bar{A} B)=\frac{1}{8}$
$\text{B.}$ $P(\bar{A}+B)=\frac{5}{6}$
$\text{C.}$ $P(\bar{A} \mid B)=P(\bar{B} \mid A)$
$\text{D.}$ $P(A \mid B)=\frac{8}{11}$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\left(a x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^6$ 的展开式中的第 2 项的系数与第 2 项二项式系数之和为 198 ，则展开式中所有项的系数和为 $\qquad$ （用数字作答）．
现有 4 名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有 1 人参加，则不同的报名方案有 $\qquad$种（用数字作答）．
对于函数 $y=f(x)$ ，若存在 $x_0$ 使 $f\left(x_0\right)+f\left(-x_0\right)=0$ ，则称点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的＂优美点＂，已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^2+3 x, x < 0 \\ k x+4, x \geq 0\end{array}\right.$ ，若曲线 $f(x)$ 存在＂优美点＂，则实数 $k$ 的取值范围为 $\qquad$ ．
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_3=9$ ，且对任意的 $n \geq 2, n \in N ^*$ ，都有 $a_{n+1}+a_{n-1}=2\left(a_n+1\right)$ ．
（1）设 $b_n=a_{n+1}-a_n$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设数列 $\left\{\frac{1}{a_{n+1}-1}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，求证：$S_n < \frac{3}{4}$ ．
已知函数 $f(x)=2 a e^{2 x}+2(a-1) e^x-x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围．
如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，侧面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D, \triangle P A D$ 是边长为 2 的等边三角形，底面 $A B C D$ 为直角梯形，其中 $B C / / A D, A B \perp A D, A B=B C=1$ ． ｜
（1）求证：$A B \perp P D$ ．
（2）求线段 $P A$ 中点 $M$ 到平面 $P C D$ 的距离．
（3）线段 $P D$ 上是否存在一点 $E$ ，使得平面 $E A C$ 与平面 $D A C$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ？若存在，求出 $\frac{P E}{P D}$ 的值；若不存在，请说明理由．
某公司有意在小明、小红、小强、小真这 4 人中随机选取 2 人参加面试．面试分为初试和复试且采用积分制，其中小明和小红通过初试的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，小强和小真通过初试的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，小明和小红通过复试的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，小强和小真通过复试的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，通过初试考核记 6 分，通过复试考核记 4 分，本次面试满分为 10分，且初试未通过者不能参加复试．
（1）若从这 4 人中随机选取 2 人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于 16 分的概率；
（2）若小明和小红两人一起参加本次公司的面试，记他们本次面试的得分之和为 $X$ ，求 $X$ 的分布列以及数学期望 $E(X)$ ．
已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点 $P\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在 $E$ 上，直线 $y=\frac{1}{2} x+m$ 与 $E$ 交于 $A, B$ 两点，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $C, O$ 为坐标原点。｜
（1）求 $E$ 的方程；
（2）证明：$\triangle B O C$ 的面积为定值；
（3）若点 $B$ 在直线 $A C$ 的右侧，求直线 $B C$ 在 $y$ 轴上的截距的最小值．