已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点 $P\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在 $E$ 上，直线 $y=\frac{1}{2} x+m$ 与 $E$ 交于 $A, B$ 两点，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $C, O$ 为坐标原点。｜
（1）求 $E$ 的方程；
（2）证明：$\triangle B O C$ 的面积为定值；
（3）若点 $B$ 在直线 $A C$ 的右侧，求直线 $B C$ 在 $y$ 轴上的截距的最小值．