单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\{2,3,5\}, B=\{3,5,8\}$, 则集合 $\{8\}=$
$\text{A.}$ $A \cap B$
$\text{B.}$ $A \cup B$
$\text{C.}$ $B \cap\left(\complement_{\mathbb{R}} A\right)$
$\text{D.}$ $A \cap\left(\complement_{\mathbf{R}} B\right)$
已知 $z+\bar{z}=4, \mathrm{i}(z-\bar{z})=-2$, 则 $z=$
$\text{A.}$ $2+\mathrm{i}$
$\text{B.}$ $-2+\mathrm{i}$
$\text{C.}$ $2-\mathrm{i}$
$\text{D.}$ $-2-\mathrm{i}$
函数 $f(x)=\sqrt{\frac{1}{8}-\frac{1}{2^x}}+\lg \left(16-x^2\right)$ 的定义域为
$\text{A.}$ $(3,4)$
$\text{B.}$ $(-4,3]$
$\text{C.}$ $[3,4)$
$\text{D.}$ $(4,+\infty)$
已知 $\sin (\alpha-\beta)=\frac{3}{5}, \sin \beta=\frac{1}{3}, \beta$ 与 $\alpha-\beta$ 均为钝角, 则 $\sin \alpha=$
$\text{A.}$ $\frac{8 \sqrt{2}+3}{15}$
$\text{B.}$ $\frac{6 \sqrt{2}+4}{15}$
$\text{C.}$ $\frac{8 \sqrt{2}-3}{15}$
$\text{D.}$ $-\frac{6 \sqrt{2}+4}{15}$
若 $2 < m < 8$, 椭圆 $C: \frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{2}=1$ 与椭圆 $D: \frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{8}=1$ 的离心率分别为 $e_1, e_2$, 则
$\text{A.}$ $e_1 \cdot e_2$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $e_1 \cdot e_2$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $e_1 \cdot e_2$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $e_1 \cdot e_2$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$
函数 $f(x)=\left|\tan \left(2 x-\frac{2 \pi}{3}\right)\right|$ 图象的对称轴方程为
$\text{A.}$ $x=\frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$
$\text{B.}$ $x=\frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{4}(k \in \mathbf{Z})$
$\text{C.}$ $x=\frac{\pi}{3}+\frac{k \pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$
$\text{D.}$ $x=\frac{\pi}{3}+\frac{k \pi}{4}(k \in \mathbf{Z})$
设 $a=\log _3 2 \times \log _5 4, b=\log _4 3 \times \log _5 2, c=\log _3 4 \times \log _5 \sqrt{3}$, 则
$\text{A.}$ $a < c < b$
$\text{B.}$ $b < a < c$
$\text{C.}$ $b < c < a$
$\text{D.}$ $c < b < a$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若函数 $f(x)=x^3+(a-1) x^2+3 a x$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 为偶函数, 则 $f^{\prime}(x)$ 的值域为
如图 1, 青铜大立人像, 1986 年于三星堆遗址二号祭祀坑出土, 重约 180 公斤, 是距今已有 3000 多年历史的青铜器. 如图 2 , 小张去博物馆参观青铜大立人像 时, 他在 $A$ 处观测青铜大立人像顶部 $P$ 的仰角为 $30^{\circ}$, 他再向青铜大立人像底 部 $H$ 前进 388 厘米到达 $B$ 处, 观测青铜大立人像顶部 $P$ 的仰角为 $75^{\circ}$, 已知 $A, B, H$ 三点共线, 则青铜大立人像的高 $H P$ 为 厘米. (取 $97 \sqrt{3}=$ 165)
图1
图2
在平面直角坐标系 $x O y$ 内, 对任意两点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$, 定义 $A, B$ 之间的 “曼哈顿距 离”为 ||$A B||=\left|x_1-x_2\right|+\left|y_1-y_2\right|$. 设曲线 $x^2+y^2=|x|+|y|$ 围成的平面区域为 $\alpha$, 从平 面区域 $\alpha$ 内随机选取一点 $P$, 则点 $P$ 满足曼哈顿距离 $\| O P|| \leqslant 1$ 的概率为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知在等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_1+a_2=4$, 且 $a_1, a_2+2, a_3$ 成等差数列, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n>0, b_1=$ $1, b_{n+1}^2-b_n^2=2\left(b_{n+1}+b_n\right)$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 设 $c_n=2^{b_n}-a_n$, 求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.
已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$, 过点 $Q(1,3)$ 作直线与 $C$ 交于 $M, N$ 两点, 当该直线垂直于 $x$ 轴时, $\triangle O M N$ 的面积为 2 , 其中 $O$ 为坐标原点.
(1)求 $C$ 的方程.
(2) 若 $C$ 的一条弦 $S T$ 经过 $C$ 的焦点, 且直线 $S T$ 与直线 $M N$ 平行, 试问是否存在常数 $\Omega$, 使 得 $|Q M| \cdot|Q N|=\Omega|S T|$ 恒成立? 若存在, 求 $\Omega$ 的值; 若不存在, 请说明理由.
已知函数 $f(x)=x^2-x+x \ln x$.
(1) 设 $f(x)$ 的零点为 $m$, 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(m, 0)$ 处的切线方程;
(2) 若不等式 $a f(x) \leqslant\left(a^2+a-1\right) x^2-2 a x(a \neq 0)$ 对 $x \in\left[\frac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$ 恒成立, 求 $a$ 的取值 范围.
在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=4+3 \cos \theta, \\ y=2+3 \sin \theta\end{array}(\theta\right.$ 为参数, $\pi \leqslant \theta \leqslant 2 \pi)$. 以坐标 原点 $O$ 为极点, $x$ 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线 $M$ 的方程为 $\rho=1$.
(1)求曲线 $C$ 的普通方程和曲线 $M$ 的直角坐标方程;
(2) 若 $A, B$ 分别是曲线 $C$ 和曲线 $M$ 上的动点, 求 $|A B|$ 的最大值.
已知函数 $f(x)=|x-1|+|x-2|$.
(1) 求不等式 $f(x) < 3$ 的解集;
(2) 若 $f(x)$ 的最小值为 $a+3 b$, 求 $a^2+b^2$ 的最小值.