已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p > 0)$, 过点 $Q(1,3)$ 作直线与 $C$ 交于 $M, N$ 两点, 当该直线垂直于 $x$ 轴时, $\triangle O M N$ 的面积为 2 , 其中 $O$ 为坐标原点.
(1)求 $C$ 的方程.
(2) 若 $C$ 的一条弦 $S T$ 经过 $C$ 的焦点, 且直线 $S T$ 与直线 $M N$ 平行, 试问是否存在常数 $\Omega$, 使 得 $|Q M| \cdot|Q N|=\Omega|S T|$ 恒成立? 若存在, 求 $\Omega$ 的值; 若不存在, 请说明理由.
【答案】 20. 解: (1) 当直线 $M N$ 垂直于 $x$ 轴时, 直线 $M N$ 的方程为 $x=1$,
代人 $y^2=2 p x$, 得 $y=\pm \sqrt{2 p}$,
因为 $\triangle O M N$ 的面积为 2 , 所以 $\frac{1}{2} \times 1 \times 2 \sqrt{2 p}=2$,
解得 $p=2$,
故 $C$ 的方程为 $y^2=4 x$.
(2) 由题意可知, 直线 $M N$ 的斜率一定存在, 设直线 $M N: y=k(x-1)+3(k \neq 0)$,
则 $x=\frac{y-3}{k}+1$, 代人 $y^2=4 x$, 得 $k y^2-4 y=4 k+12=0$,
设 $M\left(x_1, y_1\right), N\left(x_2, y_2\right)$, 则 $\Delta_1=16\left(k^2-3 k+1\right) > 0, y_1+y_2=\frac{4}{k}, y_1 y_2=\frac{12-4 k}{k}$,
$$
\begin{aligned}
&|Q M| \cdot|Q N|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\left|3-y_1\right| \times \sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\left|3-y_2\right| \\
&=\left(1+\frac{1}{k^2}\right)\left|9-3\left(y_1+y_2\right)+y_1 y_2\right|=\left(1+\frac{1}{k^2}\right)\left|9-\frac{12}{k}+\frac{12-4 k}{k}\right|=5\left(1+\frac{1}{k^2}\right) .
\end{aligned}
$$
设直线 $S T: y=k(x-1)(k \neq 0)$, 则 $x=\frac{y}{k}+1$, 代人 $y^2=4 x$,

得 $k y^2-4 y-4 k=0$,
设 $S\left(x_3, y_3\right), T\left(x_4, y_4\right)$, 则 $\Delta_2=16+16 k^2 > 0, y_3+y_4=\frac{4}{k}, y_3 y_4=-4$, $|S T|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\left|y_3-y_4\right| \quad \sqrt{1+\frac{1}{k^2}} \sqrt{\left(y_3+y_4\right)^2-4 y_3 y_4}=4\left(1+\frac{1}{k^2}\right)$, 故存在常数 $\Omega=\frac{5}{4}$, 使得 $\ Q M|\cdot| Q N|=\Omega| S T \mid$ 恒成立.


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