已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$, 过点 $Q(1,3)$ 作直线与 $C$ 交于 $M, N$ 两点, 当该直线垂直于 $x$ 轴时, $\triangle O M N$ 的面积为 2 , 其中 $O$ 为坐标原点.
(1)求 $C$ 的方程.
(2) 若 $C$ 的一条弦 $S T$ 经过 $C$ 的焦点, 且直线 $S T$ 与直线 $M N$ 平行, 试问是否存在常数 $\Omega$, 使 得 $|Q M| \cdot|Q N|=\Omega|S T|$ 恒成立? 若存在, 求 $\Omega$ 的值; 若不存在, 请说明理由.