在平面直角坐标系 $x O y$ 内, 对任意两点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$, 定义 $A, B$ 之间的 “曼哈顿距 离”为 ||$A B||=\left|x_1-x_2\right|+\left|y_1-y_2\right|$. 设曲线 $x^2+y^2=|x|+|y|$ 围成的平面区域为 $\alpha$, 从平 面区域 $\alpha$ 内随机选取一点 $P$, 则点 $P$ 满足曼哈顿距离 $\| O P|| \leqslant 1$ 的概率为
【答案】 $\frac{2}{\pi+2} .$

【解析】 当 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 时, $x^2+y^2=|x|+|y|$ 可化为 $\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}$;

当 $x \leqslant 0, y \geqslant 0$ 时, $x^2+y^2=|x|+|y|$ 可化为 $\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}$;

当 $x > 0, y \leqslant 0$ 时, $x^2+y^2=|x|+|y|$ 可化为 $\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}$;

当 $x \leqslant 0, y \leqslant 0$ 时, $x^2+y^2=|x|+|y|$ 可化为 $\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}$.

由图可知, $x^2+y^2=|x|+|y|$ 表示的是四个半径为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的半圆围成的图形.

由 ||$O P|| \leqslant 1$, 得 $|x|+|y| \leqslant 1,|x|+|y| \leqslant 1$ 表示的是图中虚线部分对应的正方形区域, 故所求概率为
$$
\frac{(\sqrt{2})^2}{4 \times\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \pi \times \frac{1}{2}+(\sqrt{2})^2}=\frac{2}{\pi+2} .
$$

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