已知函数 $f(x)=|x-1|+|x-2|$.
(1) 求不等式 $f(x) < 3$ 的解集;
(2) 若 $f(x)$ 的最小值为 $a+3 b$, 求 $a^2+b^2$ 的最小值.
【答案】 解: (1) 当 $x < 1$ 时, $f(x)=3-2 x$, 则 $3-2 x < 3$, 所以 $0 < x < 1$; 当 $1 \leqslant x \leqslant 2$ 时, $f(x)=1$, 则 $1 < 3$, 所以 $1 \leqslant x \leqslant 2$;
当 $x > 2$ 时, $f(x)=2 x-3$, 则 $2 x-3 < 3$, 所以 $2 < x < 3$.
综上, 不等式 $f(x) < 3$ 的解集为 $(0,3)$.
(2) $f(x)=|x-1|+|x-2| \geqslant|(x-1)-(x-2)|=1$,
当且仅当 $(x-1)(x-2) \leqslant 0$, 即 $1 \leqslant x \leqslant 2$ 时, 等号成立,
所以 $a+3 b=1$.
所以 $a^2+b^2=(1-3 b)^2+b^2=10 b^2-6 b+1=10\left(b-\frac{3}{10}\right)^2+\frac{1}{10}$,
当 $b=\frac{3}{10}$ 时, $a^2+b^2$ 取得最小值 $\frac{1}{10}$.


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