若 $2 < m < 8$, 椭圆 $C: \frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{2}=1$ 与椭圆 $D: \frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{8}=1$ 的离心率分别为 $e_1, e_2$, 则
$ \text{A.} $ $e_1 \cdot e_2$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ $ \text{B.} $ $e_1 \cdot e_2$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ $ \text{C.} $ $e_1 \cdot e_2$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $ \text{D.} $ $e_1 \cdot e_2$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$
【答案】 A

【解析】 因为 $2 < m < 8$, 所以 $e_1=\sqrt{1-\frac{2}{m}}, e_2=\sqrt{1-\frac{m}{8}}$,
所以 $e_1 \cdot e_2=\sqrt{\left(1-\frac{2}{m}\right)\left(1-\frac{m}{8}\right)}=\sqrt{1+\frac{1}{4}-\left(\frac{2}{m}+\frac{m}{8}\right)} \leqslant \sqrt{\frac{5}{4}-2 \sqrt{\frac{2}{m} \cdot \frac{m}{8}}}=\frac{1}{2}$,
当且仅当 $m=4$ 时, 等号成立, 故 $e_1 \cdot e_2$ 的最大值为 $\frac{1}{2}, e_1 \cdot e_2$ 无最小值.
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