已知函数 $f(x)=x^2-x+x \ln x$.
(1) 设 $f(x)$ 的零点为 $m$, 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(m, 0)$ 处的切线方程;
(2) 若不等式 $a f(x) \leqslant\left(a^2+a-1\right) x^2-2 a x(a \neq 0)$ 对 $x \in\left[\frac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$ 恒成立, 求 $a$ 的取值 范围.
【答案】 21. 解: (1) $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$,
$$
f(x)=x^2-x+x \ln x=x(x+\ln x-1) .
$$
设函数 $g(x)=x+\ln x-1$, 则 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增函数,
又 $g(1)=0$, 所以 $m=1$.
因为 $f^{\prime}(x)=2 x+\ln x$, 所以 $f^{\prime}(1)=2$, 且 $f(1)=0$,
所以曲线 $y=f(x)$ 在点 $(m, 0)$ 处的切线方程为 $2 x-y-2=0$.
(2) 由 $a f(x) \leqslant\left(a^2+a-1\right) x^2-2 a x$ 对 $x \in\left[\frac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$ 恒成立,
得 $a(1+\ln x) \leqslant\left(a^2-1\right) x$ 对 $x \in\left[\frac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$ 恒成立.
当 $a > 0$ 时, 由 $a(1+\ln x) \leqslant\left(a^2-1\right) x$, 得 $\frac{a^2-1}{a} \geqslant \frac{\ln x+1}{x}$.
设函数 $h(x)=\frac{\ln x+1}{x}$, 则 $h^{\prime}(x)=\frac{-\ln x}{x^2}$,
当 $x \in\left[\frac{1}{\mathrm{e}}, 1\right)$ 时, $h^{\prime}(x) > 0$, 当 $x \in(1,+\infty)$ 时, $h^{\prime}(x) < 0$,

所以 $h(x)$ 在 $\left[\frac{1}{\mathrm{e}}, 1\right)$ 上是增函数, 在 $(1,+\infty)$ 是减函数,
所以 $h(x)$ 的最大值为 $h(1)=1$, 则 $\frac{a^2-1}{a} \geqslant 1$,
又 $a > 0$, 得 $a \geqslant \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
当 $a < 0$ 时, 由 $a(1+\ln x) \leqslant\left(a^2-1\right) x$, 得 $\frac{a^2-1}{a} \leqslant \frac{\ln x+1}{x}$,
当 $x=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 时, $h(x)=0$, 当 $x > \frac{1}{\mathrm{e}}$ 时, $h(x) > 0$,
所以 $h(x)$ 的最小值为 0 , 则 $\frac{a^2-1}{a} \leqslant 0$,
又 $a < 0$, 得 $a \leqslant-1$.
综上, $a$ 的取值范围是 $(-\infty,-1] \cup\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2},+\infty\right)$,


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