在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=4+3 \cos \theta, \\ y=2+3 \sin \theta\end{array}(\theta\right.$ 为参数, $\pi \leqslant \theta \leqslant 2 \pi)$. 以坐标 原点 $O$ 为极点, $x$ 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线 $M$ 的方程为 $\rho=1$.
(1)求曲线 $C$ 的普通方程和曲线 $M$ 的直角坐标方程;
(2) 若 $A, B$ 分别是曲线 $C$ 和曲线 $M$ 上的动点, 求 $|A B|$ 的最大值.
【答案】 解: (1) 因为 $\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1$, 所以 $(x-4)^2+(y-2)^2=9$,
所以曲线 $C$ 的普通方程为 $(x-4)^2+(y-2)^2=9(-1 \leqslant y \leqslant 2)$.
曲线 $M$ 的直角坐标方程为 $x^2+y^2=1$.
(2) 由 (1) 知, 曲线 $C$ 为圆 $(x-4)^2+(y-2)^2=9$ 的下半部分,
曲线 $M$ 是圆心为 $O$, 半径为 1 的圆, 数形结合可得, 当 $A$ 的坐标为 $(7,2)$ 时,

$|A B|$ 可取得最大值, 且最大值为 $\sqrt{7^2+2^2}+1=\sqrt{53}+1$.



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